Сфера Сфера и шар Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка. - презентация

1 Сфера

2 Сфера и шар Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке), а данное расстояние радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R.

3 Сфера О R

4 Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, диаметр сферы равен 2R. Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра.

5 Сфера получена вращением полуокружности АВС вокруг диаметра АВ А С В

6 Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О), и не содержит других точек.

7 Уравнение сферы Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и дана некоторая поверхность F, например плоскость или сфера. Уравнение с тремя переменными x,y,z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

8 Отметим, что понятие уравнения поверхности аналогично понятию уравнения линии, которое было введено в курсе планиметрии. Введем уравнение сферы радиуса R с центром C (x 0 ;y 0 ;z 0 ).

9 C (x 0 ;y 0 ;z 0 ) R M (x;y;z) O z y x

10 Расстояние от произвольной точки M (x;y;z) до точки С вычисляется по формуле: MC= (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2

11 Если точка М лежит на данной сфере, то МС = R, или МС 2 = R 2, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2 = R 2 (1)

12 Если же точка М (х; у; z) не лежит на дан­ ной сфере, то МС 2 =R 2, т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямо­угольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (х 0 ; у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + (z-z 0 ) 2 =R 2.

13 Взаимное расположение сферы и плоскости Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости. Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости α буквой d.

14 Введем систему координат так, как показано на рисунке: α О R r С (0; 0; d) z y x

15 Плоскость Оху совпадает с плоскостью α, а центр С сферы лежит на положительной полуоси Oz. В этой системе координат точка С имеет координаты (0; 0; d), поэтому сфера имеет уравнение х 2 + у 2 + (z – d) 2 = R 2 Плоскость α совпадает с координатной плоскостью Оху, и поэтому ее уравнение имеет вид z = 0.

16 Если координаты какой-нибудь точки М (х; у; Z ) удовлетворяют обоим уравнениям, то точка М лежит как в плоскости α, так и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

17 Таким образом, во­прос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений Z = 0 х 2 +у 2 +( Z - d) 2 = R 2 Подставив Z = 0 во второе уравнение, получим х 2 +у 2 =R 2 - d 2 (2) Возможны три случая.

18 1)d 0, и уравнение (2) является уравнением окружности радиуса r = R 2 -d 2 с центром в точке О на плоскости Оху. Координаты любой точки М (х; у; 0) этой окружности удовлетворяют как уравнению плоскости а, так и уравнению сферы, т. е. все точки этой окружности являются общими точ­ ками плоскости и сферы. Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.

19 О R r С (0; 0; d) d

20 Итак, если расстояние от центра сфе­ры до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. Ясно, что сечение шара плоскостью есть круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d = 0 и в сечении получается круг радиуса R, т. е. круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара. Если секущая плоскость не проходит через центр шара, то d > 0 и радиус сечения r = R 2 -d 2, очевидно, меньше радиуса шара.

21 Большой круг шара О R α

22 2)d = R. Тогда R 2 - d 2 = 0, и уравнению (2) удовлетворяют только числа х = 0, у = 0. Следовательно, только координаты точки О (0; 0; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, т. е. О единственная общая точка сферы и плоскости. Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

23 О (0; 0; 0) С (0; 0; d) α z y x d=R

24 3) d> R. Тогда R 2 - d 2 < 0, и уравнению (2) не удовлетворяют координаты никакой точки. Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

25 О С (0; 0; d) α z y x d>R

26 Касательная плоскость к сфере Рассмотрим более подробно случай, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

27 Теорема: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

28 О α А

29 Доказательство: Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что радиус OA перпендикулярен к плоскости α. Предположим, что это не так. Тогда радиус OA является наклонной к плоскости α, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности.

30 Но это противоречит тому, что плоскость α касательная, т. е. сфера и плоскость α имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что радиус OA перпендикулярен к плоскости α. Теорема доказана. Докажем обратную теорему.

31 Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

32 Доказательство : Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной к сфере. Теорема доказана.

33 Площадь сферы В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для нее непригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника.

34 При этом сфера называется вписанной в многогранник. На рисунке изображены описанные около сферы тетраэдр и куб. Рассмотрим последовательность описанных около данной сферы многогранников, в которой число граней многогранника неограниченно возрастает и при этом наибольший размер каждой грани** многогранника стремится к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей этих многогранников.

35 Формула для вычисления площади сферы радиуса R: S = 4πR 2