Подготовила: Ученица 11 класса МОУ Поварёнской СОШ Маляева Олеся - Поварёнка 2008- - презентация

1 Подготовила: Ученица 11 класса МОУ Поварёнской СОШ Маляева Олеся - Поварёнка 2008-

2 Сфера - это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии.

3 О - центром сферы R-радиус сферы - диаметр Сферу обозначают так: ω ( O, R ). Можно определить сферу и как тело, образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра.

4 Вписанная сфера Говорят, что сфера вписана в многогранник, если она касается всех граней этого многогранника

5 Описанная сфера Сфера называется описанной около многогранника, если все его вершины лежат на сфере

6 Первый случай Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса этой сферы, то плоскость пересекает сферу и в сечение получается круг Второй случай Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса этой сферы, то плоскость и сфера не имеет общих точек

7 Третий случай Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиуса этой сферы, то плоскость и сфера имеют одну общую точку – точку касания

8 Касательная плоскость к сфере. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

9 Теорема: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА- наклонная к плоскости, след. ОА > R, но т.А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.ч.т.д. Касательная плоскость к сфере

10 Доказательство: Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере. ч.т.д. Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. Касательная плоскость к сфере

11 Площадь сферы: Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычесления площади сферы радиуса R : S=4ПR Объем сферы

12 Проведем плоскость через точки A, B и центр сферы, в сечении получим окружность. Рассмотрим меньшую из дуг AB этой окружности и выберем на ней произвольную точку M. Теорема о кратчайшем пути на сфере Кратчайшим путем на сфере, соединяющим две ее точки A и B, является меньшая из двух дуг AB большой окружности, проходящей через A и B. Доказательство Нашей ближайшей целью будет доказательство того, что кратчайший путь, соединяющий A и B, должен пройти через M. Обозначим центр сферы O и проведем через точку M две плоскости, перпендикулярные радиусам OA и OB. Эти плоскости пересекут сферу по двум окружностям w и u, которые имеют единственную общую точку – точку M. Рассмотрим теперь произвольный путь из A в B, не проходящий через M. Обозначим точку пересечения рассматриваемого пути с окружностью w через K, а с окружностью u – через P. Очевидно, что существует путь, соединяющий точки A и M, такой же длины, что путь, соединяющий A и K. Действительно, в этом легко убедиться, повернув окружность w вокруг OA так, чтобы точка K перешла в точку M. Аналогично, существует путь, между B и M такой же длины, что и путь между B и P. Отсюда следует, что кратчайший путь между A и B должен проходить через M. А поскольку M – произвольная точка меньшей дуги AB, то теорема доказана

13