Гладкая и регулярная поверхности Параметрическое задание поверхности Поверхность Q называется C r - гладкой относительно заданной параметризации, если каждая из координатных функций x(u,v), y(u,v),z(u,v) имеют непрерывную производную до порядка r включительно

Гладкая поверхность называется регулярной, если вектор, определяемый векторным произведением частных производных не равен нулю. Требование регулярности обеспечивает отсутствие у поверхности ребер и конических точек. Вектора лежат в плоскости, касательной в некоторой точке к поверхности. Вектор - параллелен нормали к этой плоскости.

ГАУССОВА КРИВИЗНА Максимальная и минимальная кривизна (k max и k min )кривых пересечения поверхности с плоскостью, в которой находится нормаль в точке, определяет гауссову кривизну. К= k max х k min

Гауссова кривизна характеризует локальную форму поверхности К>0 – поверхность не пересекает касательную плоскость – эллиптическая (выпуклость, впадина) К=0 – цилиндрическая или коническая (гребень, впадина, плоскость) – развертывающая плоскость К

Геометрическая непрерывность поверхностей Поверхности строятся, как составные. Каждая из составных поверхностей может иметь собственную параметризацию G 0 - геометрическая непрерывность нулевого порядка – существует кривая на стыке двух поверхностей G 1 – геометрическая непрерывность первого порядка, в месте стыка касательная плоскость изменяется непрерывно G 2 – геометрическая непрерывность второго порядка, в месте стыка поверхностей - гауссова кривизна изменяется непрерывно. Или вектор скручивания, определяемый второй производной, изменяется непрерывно – означает, что степень отклонения от касательной плоскости изменяется непрерывно.

Определение куска четырехугольной поверхности Кусок четырехугольной поверхности задается четырьмя координатными векторами, задающими точки в углах куска поверхности восьмью касательными векторами по два в каждом углу поверхности (определяются частными производными) четырьмя векторами кручения (определяются смешанными производными)

Пример кусочного представления поверхности – единичной сферы Точка на куске единичной сферы может быть задана параметрически: Касательные вектора

Вектора кручения Нормаль к куску поверхности

Билинейная поверхность по четырем точкам Поверхность, заданная четырьмя крайними точками, может быть представлена следующим образом: Вектор скручивания билинейной поверхности – степень отклонения от касательной плоскости:

Линейная поверхность Кунса Линейная поверхность Кунса задается четырьмя граничными кривыми – r(u,0), r(u,1), r(v,0),r(v,1) внутри поверхности используется билинейная функция смешивания граничных кривых

Задание линейной поверхности Кунса в матричном виде Функции (1-u),u, (1-v),v – называются функциями смешивания, т.к. они «смешивают» граничные кривые для получения внутренней формы поверхности