Теорема Чевы. Замечательные точки треугольника. Семенова Анастасия 8 « Б »

Теорема Чевы Теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать утверждения о точке пересечения медиан, точке пересечения биссектрис и точке пересечения высот ( или их продолжений ) треугольника. Рассмотрим доказательство этих утверждений.

Медианы треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке Доказательство. Пусть АА 1, ВВ 1, СС 1 – медианы треугольника АВС. Тогда АВ 1= В 1 С, СА 1= А 1 В, ВС 1= С 1 А, и по этому АВ 1/ В 1 С * СА 1/ А 1 В * ВС 1/ С 1 А =1 Отсюда по теореме Чевы следует, что медианы пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Замечание. Отношение в котором точка М пересечения медиан делит каждую медиану, можно найти с помощью теоремы о пропорциональных отрезках в треугольнике. Согласно этой теореме для медианы АА 1 имеем : АМ / МА 1= АВ 1/ В 1 С ( СА 1/ А 1 В +1)=2; Аналогично получаем ВМ / МВ 1=2; СМ / МС 1=2 В А1А1 С А М С1С1 В1В1

Биссектрисы треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Пусть АА 1, ВВ 1, СС 1 – биссектрисы треугольника АВС. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Согласно этому свойству АВ 1/ В 1 С = АВ / ВС, СА 1/ А 1 В = АС / АВ, ВС 1/ С 1 А = ВС / АС. Перемножив равенства получим АВ 1/ В 1 С * СА 1/ А 1 В * ВС 1/ СА 1=1 Отсюда по теореме Червы следует, что биссектрисы пересекаются в одной точке. Теорема доказана. В А1А1 С В1В1 А С1С1

Высоты треугольника Высоты треугольника ( или их продолжения ) пересекаются в одной точке. Пусть АА 1, ВВ 1, СС 1 – высоты треугольника АВС. Рассмотрим три случая. 1) Если треугольник АВС остроугольный, то точки А 1, В 1, С 1 лежат соответственно на сторонах ВС, СА и АВ. Прямоугольные треугольники подобны ( так как имеют общий острый угол С ) поэтому СА 1/ В 1 С = СА / ВС. Аналогично из подобия треугольников АА 1 В и СС 1 В следует : ВС 1/ А 1 В = ВС / АВ, а из подобия треугольников ВВ 1 А и СС 1 А – равенство АВ 1/ С 1 А = СС 1 А. Перемножив равенства получим АВ 1/ В 1 С * СА 1/ А 1 В * ВС 1/ С 1 А =1. По теореме Червы следует, что высоты пересекаются в одной точке. 2) Если треугольник АВС прямоугольный, причем угол А прямой, то его высоты пересекаются в точке А. В А1А1 СВ1В1 А С1С1 В А1А1 С А

Наконец, если треугольник АВС тупоугольный, причем угол А тупой, то как и в первом случае, из подобия прямоугольных треугольников АА 1 С и ВВ 1 С, АА 1 В и СС 1 В, ВВ 1 А и СС 1 А получаем соответственно равенства. Перемножив их приходим к четвертому равенству. Однако в данном случае лишь точка А 1 лежит на стороне ВС, а точки В 1 и С 1 лежат соответственно на продолжениях сторон АС и АВ. Воспользуемся замечанием к теореме Червы, согласно которому прямые АА 1, ВВ 1 и СС 1, содержащие высоты треугольника, либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. Если бы эти прямые были параллельны, то и перпендикулярные стороны к ним были бы параллельны друг другу. Но это не так. Значит, прямые АА 1, ВВ 1, и СС 1 пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Точка пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника называют замечательными точками треугольника. Четвертой замечательной точкой является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. C C1 A1 B B1A

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Рассмотрим треугольник АВС, в котором точки А 1, В 1, и С 1 соответственно середины сторон ВС, СА, и АВ. Средняя линия А 1 В 1 параллельна стороне АВ, поэтому серединный перпендикуляр к стороне АВ содержит высоту треугольника А 1 В 1 С 1, проведенную из вершины С 1. Аналогично серединные перпендикуляры к сторонам ВС и СА содержат две другие высоты треугольника А 1 В 1 С 1. Но прямые, содержащие высоты треугольника А 1 В 1 С 1, пересекаются в одной точке. Это означает, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Свойства замечательных точек треугольника Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот, ( или их продолжений ) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой ( эта прямая называется прямой Эйлера ). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1 ( считая от вершин ). Три замечательные точки треугольника : центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной прямой.

Прямая Эйлера Прямая Эйлера Доказательство. Пусть D - середина стороны BC треугольника ABC, O - центр описанной около треугольника ABC окружности, H - точка пересечения высот треугольника ABC. Как мы знаем из предыдущего рассуждения, H - центр окружности, описанной около треугольника A0B0C0. Но треугольник A0B0C0 подобен треугольнику A0B0C0 с коэффициентом подобия 2. Точке H треугольника A0B0C0 соответствует точка O треугольника ABC. Отрезки AH и OD являются для этих треугольников соответствующими. Значит, AH = 2OD. Кроме того, AH и OD параллельны. Обозначим через M точку пересечения AD с OH. Из подобия треугольников AHM и DOM находим : 2OM = HM. Итак, точка M делит отрезок OH в отношении 2 : 1, а медиана AD проходит через M и также делится этой точкой в отношении 2 : 1.

Задача 3. Доказать, что в треугольнике точка пересечения медиан, центр окружности, описанной около треугольника, и ортоцентр лежат на одной прямой. Решение. Пусть дан треугольник АВС, у которого М – точка пересечения медиан, Р – центр окружности, описанной около треугольника, Н – ортоцентр, т. е. Н – точка пересечения высот треугольника ( рис. 3). Надо доказать, что точка М принадлежит прямой НР. Рассмотрим Гомотетию с центром в точке М и коэффициентом k=-1/2. Так как точка М делит медианы в отношении 1:2, считая от вершины, а Р – точка пересечения серединных перпендикуляров, то Нм -1/2: ВВ 1, а АА 1, ВНВ 1 Р, АНА 1 Р. Значит Нм -1/2: НР. Следовательно, точка М принадлежит прямой НР.