НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ И СОЛИТОНЫ Лекции 10

Уравнение Кортевега – де Вриза если можно пренебречь нелинейностью, дисперсией и диссипацией

В отсутствие диссипации вещественно, и разложение u может идти только по четным степениям (ik)

Волны на мелкой воде

Рождение высших гармоник в результате нелинейности (нелинейное укручение фронта)

волна опрокидыватся, Через

Периодические волны и солитоны решение в виде бегущих волн: с – фазовая скорость волны в системе отсчёта, движущейся со скоростью u 0

W=0 при =0, 3c и имеет минимум при =2c Уравнение движения нелинейного осциллятора (материальной точки единичной массы в потенциальной яме глубиной W )

возникает нелинейная кноидальная волна - характерная ширина солитона

солитоны сжатия (ионно- звуковая, альвеновская, поперечная магнитозвуковая волны) солитоны разрежения (косая магнитозвуковая волна) Среда с отрицательной дисперсиейСреда с положительной дисперсией

Если при t=0 создаётся возмущение амплитуды (0)= 0 и ширины, то его эволюция определяется величиной параметра 1 - солитоны + слабо нелинейный волновой пакет

Двумерные солитоны (вихри) k y

Солитоны на мелкой вращающейся воде (М.В. Незлин. Клуб любителей обезьян)

Большое красное пятно Юпитера

Метод обратной задачи рассеяния Нелинейное уравнение КвД принадлежит к классу полностью интегрируемых дифференциальных уравнений. Нахождение его решения может быть сведено к решению линейного интегрального уравнения методом обратной задачи рассеяния. Задача рассеяния на заданном потенциале u(x,t) - эрмитов оператор, соответствующий гамильтониану рассматриваемой задачи Если - эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине, то

собственные значения, определяемые соотношением, не зависят от времени КДВ уравнение можно рассматривать как уравнение постоянства оператора при определенном выборе,

Если u достаточно быстро убывает на, то >0 отвечает дискретный спектр связанных состояний, а

Метод нахождения решения уравнения КдВ при заданном дает число солитонов Амплитуда солитона пропорциональна Любой положительный импульс порождает хотя бы один солитон. Отрицательный импульс не может породить ни одного солитона. По известной зависимости a n и S k от времени, определяется

Ударные волны в слабодиспергирующих средах – кинематический коэффициент вязкости.

Ударная волна в среде с отрицательной дисперсией, Ударная волна в среде с положительной дисперсией При достаточно большом осцилляции исчезают, процесс становится апериодическим и описывается уравнением Бюргерса. Ударная волна с осциллирующей структурой

Модуляционная неустойчивость и солитоны – огибающие

Модуляционная неустойчивость или самосжатие волнового пакета = k + A 2 A 2 - малая нелинейная поправка к k, A – амплитуда волны k = k 0 + k 1 exp( - i 1 t + ik 1 x) A = A 0 + A 1 exp( - i 1 t + ik 1 x) 1

Ленгмюровские колебания Сила Миллера

T e = T i =T, модуляционная неустойчивость