Абсолютная величина Уравнения с модулем

Определение модуля Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х, т.е. | x|, называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х, т.е. | x|, называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное

1. Свойства модуля 1. | а b | = | а | | b | для любых чисел а и b 2. | | = при в 0 3. | а | 2 = а 2 для любого числа а

2. Простейшим из уравнений, содержащих модули, является уравнение вида | f(x) | = a, где, а0. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений. 2. Простейшим из уравнений, содержащих модули, является уравнение вида | f(x) | = a, где, а0. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений. [ Если а

Более сложными являются уравнения вида Более сложными являются уравнения вида | f(x) | = g(x), где f(x), g(x) – некоторые функции действительного переменного х. | f(x) | = g(x), где f(x), g(x) – некоторые функции действительного переменного х. 1) При g(x) 0 исходное уравнение равносильно совокупности Γ f(x) = g(x), L f(x) = -g(x). L f(x) = -g(x).

Пример 2. Решить уравнение | 1 – 2x | = 3x - 2 Решение: Заметим, что Зх-20, т.е. х или Решение: Заметим, что Зх-20, т.е. х или х є ( ;+) х є ( ;+) Нa множестве х є ( ;+ ) заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 1) 1-2х=Зх-2 X 1 = Нa множестве х є ( ;+ ) заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 1) 1-2х=Зх-2 X 1 = 2)1-2х=-(Зх-2) X 2 = 1 2)1-2х=-(Зх-2) X 2 = 1 Поскольку

Теперь рассмотрим уравнения вида | а 1 х – в 1 |+ | а 2 х – в 2 | + … + | а n х – в n | = ах + в, где а 1, а 2, а 3, …, а n, в 1, в 2, в 3 - некоторые числа принадлежащие R, х - действительная переменная - строится по следующей схеме. | а 1 х – в 1 |+ | а 2 х – в 2 | + … + | а n х – в n | = ах + в, где а 1, а 2, а 3, …, а n, в 1, в 2, в 3 - некоторые числа принадлежащие R, х - действительная переменная - строится по следующей схеме. Область допустимых значений переменной заданного уравнения разбивается на множества, на каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны. Область допустимых значений переменной заданного уравнения разбивается на множества, на каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны. Нa каждом таком множестве исходное уравнение заменяется (с учётом знаков подмодульных выражений) эквивалентным ему уравнением, не содержащим абсолютных величин. Нa каждом таком множестве исходное уравнение заменяется (с учётом знаков подмодульных выражений) эквивалентным ему уравнением, не содержащим абсолютных величин. Объединение решений полученной таким образом совокупности уравнении является решением заданного уравнения. Объединение решений полученной таким образом совокупности уравнении является решением заданного уравнения.

Пример 3. Решить уравнение | 2х+5 | - | 3-х | = 0,5 Решение. Область допустимых значений переменной - вся числовая ось. Решение. Область допустимых значений переменной - вся числовая ось. Найдём точки, в которых подмодульные выражения равны 0: Найдём точки, в которых подмодульные выражения равны 0: 2х+5=0, т.е. х 1 = -2,5; 3-х=0, т.е. х 2 = 3. 2х+5=0, т.е. х 1 = -2,5; 3-х=0, т.е. х 2 = 3.

Разобьём область допустимых значений полученными точками на множества (-; -2,5), (-2,5; 3), (3; +) Разобьём область допустимых значений полученными точками на множества (-; -2,5), (-2,5; 3), (3; +) Определим знаки подмодульных выражений на каждом из полученных множеств (они записаны в таблице1) Определим знаки подмодульных выражений на каждом из полученных множеств (они записаны в таблице1) Таблица 1 (-; -2,5) (-2,5; 3) (З; + ) (-; -2,5) (-2,5; 3) (З; + ) 2х + 5 ­ + + 2х + 5 ­ – х – х Таким образом, исходное уравнение | 2x+5 | - | 3-х | =0,5 равносильно совокупности уравнений: Таким образом, исходное уравнение | 2x+5 | - | 3-х | =0,5 равносильно совокупности уравнений: 1) х< -2,5 -(2х +5) - (3-х)=0,5 -2х - 5 – 3 + х=0,5 -2х - 5 – 3 + х=0,5 -х=8,5 -х=8,5 х=-8,5, -8,5 (- ;-2,5). х=-8,5, -8,5 (- ;-2,5).

2) при -2,5 х < 3 2х+5-(3-х) = 0,5 2) при -2,5 х < 3 2х+5-(3-х) = 0,5 2х х = 0,5 2х х = 0,5 3x = -1,5 3x = -1,5 х = -0,5 -0,5є[-2,5;3) х = -0,5 -0,5є[-2,5;3) 3) при х 3 2х+5+(3-х)=0,5 3) при х 3 2х+5+(3-х)=0,5 2х+5+3-х=0,5 2х+5+3-х=0,5 х=-7,5, -7,5 є [3; + ) х=-7,5, -7,5 є [3; + ) Ответ: { -8,5;-0,5 } Ответ: { -8,5;-0,5 } Уравнение вида F( | f 1 (x) |, | f 2 (x) |,…, | f n (x) | ) = 0, где f 1 (x), f 2 (x),…, f n (x) – некоторые функции действительной переменной х, решаются совершенно аналогично способу, рассмотренному выше. Уравнение вида F( | f 1 (x) |, | f 2 (x) |,…, | f n (x) | ) = 0, где f 1 (x), f 2 (x),…, f n (x) – некоторые функции действительной переменной х, решаются совершенно аналогично способу, рассмотренному выше.

3. Теперь рассмотрим некоторые утверждения, применение которых позволяет значительно упростить решение уравнений с модулями. Утверждение 1. Равенство | а+в | = | а | + | в | является верным, если ав 0. Утверждение 1. Равенство | а+в | = | а | + | в | является верным, если ав 0. Доказательство. Действительно, после возведения обеих частей данного равенства в квадрат, получим, | а+в | 2 = |a| 2 + 2|ав | + |в| 2 Доказательство. Действительно, после возведения обеих частей данного равенства в квадрат, получим, | а+в | 2 = |a| 2 + 2|ав | + |в| 2 a 2 + 2ав + в 2 = a 2 + 2|ав |+ в 2, откуда | ав | = ав a 2 + 2ав + в 2 = a 2 + 2|ав |+ в 2, откуда | ав | = ав А последнее равенство будет верным при ав 0. А последнее равенство будет верным при ав 0. Утверждение 2. Равенство | а-в | = | а | + | в | является верным при ав 0. Утверждение 2. Равенство | а-в | = | а | + | в | является верным при ав 0. Доказательство. Для доказательства достаточно в равенстве | а+в | = | а | + | в | заменить в на -в, тогда а(-в) 0, откуда ав 0 Доказательство. Для доказательства достаточно в равенстве | а+в | = | а | + | в | заменить в на -в, тогда а(-в) 0, откуда ав 0

Утверждение 3.Равенство | а | + | в | = а+в выполняется при а0 и в 0. Утверждение 3.Равенство | а | + | в | = а+в выполняется при а0 и в 0. Доказательство. Рассмотрев четыре случая а0 и в 0; а0 и в

Пример 4. Решить уравнение: | 2х-2| = |х 3 -2 | + | 2х-х 3 | Решение: Так как |х 3 -2 | + | 2х-х 3 | = |х х-х 3 |, то все корни уравнения находятся среди решений неравенства (х 3 -2 )(2х – х 3 )0 (утверждение 1). Решение: Так как |х 3 -2 | + | 2х-х 3 | = |х х-х 3 |, то все корни уравнения находятся среди решений неравенства (х 3 -2 )(2х – х 3 )0 (утверждение 1). Решим это неравенство методом интервалов; Решим это неравенство методом интервалов; -х(х 3 – 2)(х 2 – 2)0 -х(х 3 – 2)(х 2 – 2)0 х(х 3 – 2)(х - )(х + )0 х(х 3 – 2)(х - )(х + ) х - 0 х Ответ: [- ;0] U [ ; ] Ответ: [- ;0] U [ ; ]

4. В иных примерах совсем не следует торопиться с раскрытием модулей, надо прежде всего рассмотреть выражение в целом Пример 7. Решить уравнение: Пример 7. Решить уравнение: В «целом» произведение двух дробей может быть равна 1 только в трёх случаях: В «целом» произведение двух дробей может быть равна 1 только в трёх случаях: а) если дроби взаимно обратны, т.е. х+1= х+2 и | х+1| = | х+2|, но это не возможно при любых х. а) если дроби взаимно обратны, т.е. х+1= х+2 и | х+1| = | х+2|, но это не возможно при любых х. б) если каждая из них равна 1, то получим и. Из первого уравнения следует б) если каждая из них равна 1, то получим и. Из первого уравнения следует х+1>0 х >-1. Из второго уравнения получим х+2>0 х>-2. Общее решение: х>-1. в) если каждая из них равна -1, то получим и. Из первого уравнения следует х+1

Из второго уравнения получим х+2