Свойства базиса Бернштейна (функций полиномиальной аппроксимации) Вещественны Не зависят от опорных точек, значения аппроксимирующих функций ненулевые для всех значений параметров на кривой (глобальность базиса Бернштейна). Сумма равна единице Доказательство: Бином Ньютона – Тогда,, что и требовалось доказать

Свойства кривой Безье Является гладкой, производная не обращается в ноль ни при каких значениях t и i Касается первого и последнего отрезков выпуклого многоугольника Проходит через первую и последнюю точки полигона Находится внутри выпуклой оболочки (вытекает из свойств базиса Бернштейна)

Количество вершин выпуклого многоугольника (число опорных точек) определяет степень кривой Безье- на единицу меньше Кривая симметрична, повторяет свою форму при перемене местами опорных точек Из-за глобальности базиса Бернштейна добавление одной опорной точки приводит к пересчету всей кривой

Если все опорные точки коллинеарны - кривая вырождается в прямую Если все опорные точки лежат в одной плоскости (компланарны), то кривая также является плоской Кривая аффинно инвариантна, но перспективно неинвариантна Кривая Безье обладает свойством уменьшения вариации – число точек пересечения кривой Безье с произвольной прямой не меньше, число пересечений этой прямой с полигоном кривой

Доказательство гладкости кривой Безье Первую производную кривой Безье в общем виде можно представить следующим образом: Покажем, что значение производной не обращается в ноль ни при каких значениях i и t.

Из предыдущего выражения следует, что при i=0 и 1 первая производная в ноль не обращается. Рассмотрим значение первой производной при t = 0 и t = 1 При рассматриваемых значениях параметра t первая производная также в ноль не обращается. Выражение второй производной в общем виде:

Доказательство факта касания кривой Безье отрезковP 1 P 0 и P n-1 P n Разложение кривой Безье в ряд Тейлора вблизи точки P 0 Разложение кривой Безье в ряд Тейлора вблизи точки P 1

Производная базисной функции: Рекурентная формула для базисных функций:

Составная кривая Безье Составная кривая Безье – объединение элементарных кубических сплайнов таких, что Составная кривая Безье G 1 непрерывна, если три точки P i-1 P i P i+1 лежат на одной прямой (точки коллинеарны) Составная кривая Безье G 2 непрерывна, если три точки P i-2 P i-1 P i P i+1 P i+2 лежат в одной плоскости (компланарны) Замкнутая составная кривая геометрически непрерывна, если P n =P 0 и P n-1 P n = P 0 P 1 лежат на одной прямой

Геометрический метод построения кривой Безье – метод де Кастельжо Строится на основе последовательного поиска новых точек, новых полигонов. Число шагов алгоритма: n+1 Число опорных точек на каждом этапе алгоритма: n-r, r изменяется от 0 до n Формула для опорных точек на каждом этапе алгоритма:

Схема поиска опорных точек для кривой Безье третьей степени Результат поиска опорной точки P i, соответствующей заданному параметру t i. (1- t i ) t i