© Александрова О.А. Лицей 554 ВЕКТОРЫ

Содержание Историческая справка Что такое вектор? Длина вектора Коллинеарные векторы Направление векторов Равенство векторов Откладывание вектора от данной точки Сложение векторов Вычитание векторов Умножение вектора на число

Историческая справка Термин вектор (от лат. Vector – несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.

Что такое вектор? Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами.

Геометрическое понятие вектора Наиболее наглядно величину и направление одновременно можно задать с помощью направленного отрезка – вектора. Направление вектора указывается стрелкой. Точка A называется началом вектора, а точка B – концом. Векторы обозначаются латинскими буквами a, b, c, …, а также AB, CD, … (на первом месте ставится начало вектора). В А Начало вектора Конец вектора C D a b c

Нулевой вектор Любую точку плоскости можно считать вектором. Такой вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом. Нулевой вектор обозначается 0 или СС. М С CC - нулевой вектор MM - нулевой вектор

Длина вектора Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Длина вектора обозначается |а| или |АВ|. Длина нулевого вектора считается равной нулю. AB a C D N |AB| = 6 |CD| = 5 |a| = 5 |NN| = 0 (каждая клетка на рисунке имеет сторону, равную единице измерения отрезков)

Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. a C D b F K O m N P CD, KF, O, a, b – коллинеарные O, a – коллинеарные O, NP – коллинеарные NP, m – не коллинеарные

Направление векторов Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. a CD b KF a C D F K b

Направление векторов Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. a CD b KF C D F K a b a b CD KF

Направление векторов Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор cонаправлен с любым вектором. a CD b KF a b a KF MM a MM b M a C D F K b

Равенство векторов Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Равенство векторов обозначается: a = b Все нулевые векторы равны друг другу. a b M C CC = MM a b a = b

Откладывание вектора от данной точки От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один. а А В М N'N' N p M p p II AB MN = AB MN' = AB MN = a

Сложение векторов Если тело переместить из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С, то его суммарное перемещение из А в С представляется вектором АС. Так складывают векторы АВ и ВС: АВ + ВС = АС. А С В

Правило треугольника Вектор АС называется суммой векторов а и b. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Для любого вектора а справедливо равенство: a + 0 = a. a = AB b = BC a + b = AB + BC = AC a b a + b A B C

Правило параллелограмма Чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b,нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы АВ = а и АD = b и построить параллелограмм АВСD. Тогда вектор АС = а + b. a = AB = DC b = AD = BC a + b = AB + BC = AC b + a = AD + DC = AC a + b A B D C a b a + b = b + a

Свойства сложение векторов Для любых векторов a, b и c справедливы равенства: 1. a + b = b + a (переместительный закон) доказательство см. «правило параллелограмма»правило параллелограмма 2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон) b a c D c A B C b a b b + c a + b (a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD a+(b+c)=AB+(BC+CD)=AB+BD=AD a+(b+c)=a+(b+c) a + b + c

Правило многоугольника Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д.Это правило называется правилом многоугольника. A B C D E F a b c d e a = AB b = BC c = CD d = DE e = EF a + b + c + d + e = AB + DC + CD + DE + EF = AF

Вычитание векторов Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Их сумма равна нулевому вектору. а + (-а) = 0 a -a

Вычитание векторов Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. а – b = а + (-b) ОА = а, АВ = -b ОВ = а + (-b) = а - b b а а О А -b-b В b А а О В а - b b а а – b = ОВ – ОА = АВ ОВ = а ОА = b ОВ – ОА = АВ а - b

Умножение вектора на число Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна |k|·|a|, причем векторы а и b сонаправлены при k>0 и противоположно направлены при k 0; ab при k < 0; если a = 0, то b = 0. b= - ½ a c = 1,5a d = 2a