Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия. Таким образом, треугольник АВС подобен треугольнику A 1 В 1 С 1, если A = A 1, B = B 1, C = C 1 и где k – коэффициент подобия.

Первый признак подобия Теорема. (Первый признак подобия.) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Отложим на луче А 1 В 1 отрезок А 1 В', равный АВ, и проведем прямую В'С', параллельную В 1 С 1. Треугольники А 1 B'C' и АВС равны (по второму признаку равенства треугольников). По теореме о пропорциональных отрезках имеет место равенство Следовательно, имеем равенство Аналогичным образом доказывается, что имеет место равенство Следовательно, треугольники подобны. Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 A = A 1, B = B 1. Тогда и C = C 1. Докажем, что.

Вопрос 1 Какие треугольники называются подобными? Ответ: Два треугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны.

Вопрос 2 Сформулируйте первый признак подобия треугольников. Ответ: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Вопрос 3 Подобны ли любые два: а) равносторонних треугольника; б) равнобедренных треугольника; в) равнобедренных прямоугольных треугольника? Ответ: а) Да; б) нет; в) да.

Упражнение 1 Выясните, подобны ли треугольники, изображенные на рисунке? Ответ: Да.

Упражнение 2 Выясните, подобны ли треугольники, изображенные на рисунке? Ответ: Да.

Упражнение 3 Изобразите треугольник ABC, подобный данному треугольнику ABC, с коэффициентом подобия 2. Ответ:

Упражнение 4 Изобразите треугольник ABC, подобный данному треугольнику ABC, с коэффициентом подобия 0,5. Ответ:

Упражнение 5 Стороны треугольника равны 5 см, 8 см и 10 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если коэффициент подобия равен: а) 0,5; б) 2. Ответ: а) 2,5 см, 4 см и 5 см; б) 10 см, 16 см и 20 см.

Упражнение 6 Подобны ли прямоугольные треугольники, если у одного из них есть угол 40 о, а у другого 50 о ? Ответ: Да.

Упражнение 7 Два треугольника подобны. Два угла одного треугольника равны 55 о и 80 о. Найдите наименьший угол второго треугольника. Ответ: 45 о.

Упражнение 8 В подобных треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 АВ = 8 см, ВС = 10 см, А 1 В 1 = 5,6 см, А 1 С 1 = 10,5 см. Найдите АС и В 1 С 1. Ответ: AC = 15 см, B 1 C 1 = 7 см.

Упражнение 9 Ответ: AC = 4 м, B 1 C 1 = 14 м. У треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 A = A 1, B = B 1, АВ = 5 м, ВС = 7 м, А 1 В 1 = 10 м, А 1 С 1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.

Упражнение 10 Стороны треугольника относятся как 5:3:7. Найдите стороны подобного ему треугольника, у которого: а) периметр равен 45 см; б) меньшая сторона равна 5 см; в) большая сторона равна 7 см; г) разность большей и меньшей сторон составляет 2 см. Ответ: а) 15 см, 9 см, 21 см; в) 5 см, 3 см, 7 см; г) 2,5 см, 1,5 см, 3,5 см. б) 8 см, 5 см, 11 см;

Упражнение 11 На рисунке укажите все подобные треугольники. Ответ: а) ABC, FEC, DBE;б) ABC, GFC, AGD, FBE; в) ABC, CDA, AEB, BEC;г) AOB, COD; д) ABC и FGC; ADC и FEC; DBC и EGC.

Упражнение 12 У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны соответственно 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону. Ответ: 13,6 см.

Упражнение 13 В треугольник со стороной а и высотой h, опущенной на нее, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на этой стороне треугольника, а другие две – на двух других сторонах треугольника. Найдите сторону квадрата. Ответ:.

Упражнение 14 В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС = b. Ответ:.

Упражнение 15 Можно ли треугольник пересечь прямой, непараллельной основанию, так, чтобы отсечь от него подобный треугольник? В каком случае это невозможно? Ответ: Можно, если треугольник неравносторонний.

Упражнение 16 Пусть AC и BD – хорды окружности, пересекающиеся в точке E. Докажите, что треугольники ABE и CDE подобны. Доказательство: Угол A треугольника ABE равен углу D треугольника CDE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Аналогично, угол B равен углу C. Следовательно, треугольники ABE и CDE подобны по первому признаку.

Упражнение 17 На рисунке AE = 3, BE = 6, CE = 2. Найдите DE. Ответ: 4.

Упражнение 18 На рисунке AB = 8, BE = 6, DE = 4. Найдите CD. Ответ:.

Упражнение 19 На рисунке CE = 2, DE = 5, AE = 4. Найдите BE. Ответ: 10.

Упражнение 20 На рисунке CE = 4, CD = 10, AE = 6. Найдите AB. Ответ: 15.

Упражнение 21 Ответ: DEK и DLF, DEK и ELK, DLF и ELK, DFK и DLE, DFK и FLK, DLE и FLK. На рисунке DL – биссектриса треугольника DEF, вписанного в окружность. DL пересекает окружность в точке K, которая соединена отрезками с вершинами E и F треугольника. Найдите подобные треугольники.

Упражнение 22 Ответ: ABH и ADC, ACH и ADB, ABM и CDM, BMD и AMC. В окружность вписан остроугольный треугольник ABC, AH – его высота, AD – диаметр окружности, который пересекает сторону BC в точке M. Точка D соединена с вершинами B и C треугольника. Найдите подобные треугольники.

Упражнение 23 Докажите, что произведение отрезков любой хорды, проведенной через внутреннюю точку круга, равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же точку. Решение. Пусть дан круг с центром в точке O, хорда AB и диаметр CD пересекаются в точке E. Докажем, что Треугольники ACE и DBE подобны. Следовательно, значит,

Упражнение 24 Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите, что треугольники ADE и BCE подобны. Доказательство: Угол D треугольника ADE равен углу C треугольника BCE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Угол E этих треугольников общий. Следовательно, треугольники ADE и BCE подобны по первому признаку.

Упражнение 25 Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите, что AE·CE = BE·DE. Доказательство: Треугольники ADE и BCE подобны. Значит, AE : DE = BE : CE. Следовательно, AE·CE = BE·DE.

Упражнение 26 На рисунке AE = 9, BE = 8, CE = 24. Найдите DE. Ответ: 27.

Упражнение 27 Через внешнюю точку E окружности проведены прямая, пересекающая окружность в точках A и B, и касательная EС (C – точка касания). Докажите, что треугольники EAC и ECB подобны. Доказательство. У треугольников EAC и ECB угол E общий. Углы ACE и CBE равны, как углы, опирающиеся на одну хорду. Следовательно, треугольники EAC и ECB подобны.

Упражнение 28 Через внешнюю точку E окружности проведены прямая, пересекающая окружность в точках A и B, и касательная EС (C – точка касания). Докажите, что произведение отрезков AE и BE секущей равно квадрату отрезка CE касательной. Доказательство. Треугольники EAC и ECB подобны. Следовательно, AE:CE = CE:BE, значит, AE·BE = CE 2.

Упражнение 29 На рисунке AE = 6, BE = 24. Найдите CE. Ответ: 12.

Упражнение 30 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что треугольники A 1 AC и B 1 BC подобны. Доказательство. Треугольники A 1 AC и B 1 BC прямоугольные и имеют общий угол C. Следовательно, они подобны по двум углам.

Упражнение 31 Докажите, что в прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. (Средним геометрическим двух положительных чисел a и b называется положительное число c, квадрат которого равен ab, т.е. c = ). Решение: Треугольники ADC и CDB подобны. Следовательно,, или CD 2 = AD BD, т.е. CD является средним геометрическим AD и BD.

Упражнение 32 В треугольнике ABC точка H – точка пересечения высот, точка O – центр описанной окружности. Докажите, что длина отрезка CH в два раза больше расстояния от точки O до прямой AB. Решение: Пусть B 1, C 1 – середины сторон AC и AB треугольника ABC. Треугольники HBC и OB 1 C 1 подобны, BC = 2B 1 C 1. Следовательно, CH = 2OC 1.