Измерение многогранных углов Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, A n-1 SA n, A n SA 1 с общей вершиной S, в которых соседние.
Advertisements

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРА Площадь поверхности шара, радиуса R, выражается формулой.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРА Площадь поверхности шара, радиуса R, выражается формулой.
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства,
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ Теорема. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту. Доказательство. Рассмотрим случай треугольной пирамиды.
Полувписанная сфера Сфера называется полувписанной в многогранник, если она касается всех его ребер. Центром полувписанной сферы является точка, равноудаленная.
Многогранные углы Напомним, что многоугольником на плоскости называется фигура, образованная простой замкнутой ломаной этой плоскости и ограниченной ею.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников. Площадь поверхности.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c, параллельной этому отрезку и отстоящей от него на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства,
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованная двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства,
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на.
Трёхгранные и многогранные углы: Трёхгранным углом называется фигура образованная тремя плоскостями, ограни- ченными тремя лучами, исходящими из одной.
Угол в пространстве Углом в пространстве называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими.
Многогранники, вписанные в сферу Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат этой сфере. Сама сфера при этом называется.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКА Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Пусть дана плоскость π и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости π. Точку пересечения.
ОБЪЕМ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ Объем – величина, аналогичная площади и сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные действительные числа. За единицу.
Транксрипт:

Измерение многогранных углов Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180 о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360 о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360 о :8 = 45 о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

Упражнение 1 Ответ: 45 о. Пусть O – центр октаэдра SABCDS. Найдите величину трехгранного угла OABS.

Упражнение 2 В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90 о. Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение: Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, трехгранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360 о, т.е. равен 45 о. Ответ: 45 о.

Упражнение 3 Ответ: 60 о. Пусть O – центр куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите величину четырехгранного угла OABCD.

Упражнение 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение: Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, четырехгранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360 о, т.е. равен 60 о. Ответ: 60 о.

Упражнение 5 Ответ: 90 о. Пусть O – центр правильного тетраэдра ABCD. Найдите величину трехгранного угла OABC.

Упражнение 6 В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение: Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре O тетраэдра. Следовательно, трехгранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360 о, т.е. равен 90 о. Ответ: 90 о.

Упражнение 7 Ответ: 22,5 о. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину трехгранного угла BAA 1 C.

Упражнение 8 Ответ: 15 о. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину четырехгранного угла A 1 ABCD.

Упражнение 9 Ответ: 7 о 30. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину трехгранного угла A 1 ABC.

Упражнение 10 Ответ: 15 о. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину трехгранного угла CBDA 1.

Упражнение 11 Ответ: 120 о. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину трехгранного угла OBA 1 C 1.

Формула для трехгранного угла Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360 о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или SA + SB + SC = 180 о + 2 SABC.

Формула для многогранного угла Пусть SA 1 …A n – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A 1 A 3, …, A 1 A n-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь: SA 1 + … + SA n = 180 о (n – 2) + 2 SA 1 …A n. Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: SA 1 + …+ SA n = π (n – 2) + 2 SA 1 …A n.

Упражнение 12 Ответ: 90 о. Двугранные углы, образованные боковыми гранями треугольной пирамиды, равны 120 о. Найдите величину трехгранного угла при вершине этой пирамиды.

Упражнение 13 Ответ: 60 о. Двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями четырехугольной пирамиды, равны 120 о. Найдите величину четырехгранного угла при вершине этой пирамиды.

Упражнение 14 Для двугранных углов тетраэдра имеем:, откуда 70 о 30'. Для трехгранного угла тетраэдра имеем: 15 о 45'. Ответ: 15 о 45'. Найдите косинус и приближенное значение трехгранного угла правильного тетраэдра.

Упражнение 15 Найдите косинус и приближенное значение четырехгранного угла октаэдра. Для двугранных углов октаэдра имеем:, откуда 109 о 30'. Для четырехгранного угла октаэдра имеем: 38 о 56'. Ответ: 38 о 56'.

Упражнение 16 Найдите косинус и приближенное значение пятигранного угла икосаэдра. Для двугранных углов икосаэдра имеем:, откуда 138 о 11'. Для пятигранного угла икосаэдра имеем: 75 о 28'. Ответ: 75 о 28'.

Упражнение 17 Для двугранных углов додекаэдра имеем:, откуда 116 о 34'. Для трехгранного угла додекаэдра имеем: 84 о 51'. Ответ: 84 о 51'. Найдите косинус и приближенное значение трехгранного угла додекаэдра.