МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, A n-1 SA n, A n SA 1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1, …, SA n называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, A n-1 SA n, A n SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1 …A n, указывающими вершину и точки на его ребрах. В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Вертикальные многогранные углы На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов

Измерение многогранных углов Рассмотрим вопрос об измерении многогранных углов. Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180 о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360 о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360 о :8 = 45 о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

Трехгранные углы Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360 о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или SA + SB + SC = 180 о + 2 SABC. Таким образом, имеем следующую формулу

Многогранные углы Пусть SA 1 …A n – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A 1 A 3, …, A 1 A n-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь: Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2, равное половине площади единичной сферы. Поэтому численной величиной многогранного угла считают половину площади сферического многоугольника, высекаемого многогранным углом из единичной сферы с центром в вершине данного многогранного угла. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь:

Трехгранные углы тетраэдра Для двугранных углов тетраэдра имеем:, откуда 70 о 30'. Для трехгранных углов тетраэдра имеем: 15 о 45'. Ответ: 15 о 45'.

Четырехгранные углы октаэдра Для двугранных углов октаэдра имеем:, откуда 109 о 30'. Для четырехгранных углов октаэдра имеем: 38 о 56'. Ответ: 38 о 56'.

Пятигранные углы икосаэдра Для двугранных углов икосаэдра имеем:, откуда 138 о 11'. Для пятигранных углов икосаэдра имеем: 75 о 28'. Ответ: 75 о 28'.

Трехгранные углы додекаэдра Для двугранных углов додекаэдра имеем:, откуда 116 о 34'. Для трехгранных углов додекаэдра имеем: 84 о 51'. Ответ: 84 о 51'.

Трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра Задача. Найдите трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра – многогранника, поверхность которого состоит из двенадцати ромбов. Заметим, что равными ромбододекаэдрами можно заполнить все пространство (составить пространственный паркет). Для этого сначала заполним пространство равными кубами, закрашенными в черный и белый цвета в шахматном порядке. Затем белые кубы разобьем на правильные четырехугольные пирамиды и присоединим их к черным кубам. Получим искомое заполнение пространства ромбододекаэдрами. При этом в каждой вершине сходится или шесть равных четырехгранных углов, или четыре равных трехгранных углов ромбододекаэдров. Таким образом, величина четырехгранного угла ромбододекаэдра равна 60 о, а величина трехгранного угла ромбододекаэдра равна 90 о. Ответ: 3-х гранные углы равны 90 о, а 4-х гранные 60 о.

Четырехгранный угол пирамиды Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой пирамиды? Решение: Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360 о, т.е. равен 60 о. Ответ: 60 о.

Трехгранный угол пирамиды Задача. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, стороны основания –. Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды? Решение: Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360 о, т.е. равен 45 о. Ответ: 45 о.

Трехгранный угол пирамиды Задача. В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 1, боковые ребра – Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды? Решение: Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре O тетраэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360 о, т.е. равен 90 о. Ответ: 90 о.