Площадь треугольника Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следствие. Площадь.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме: площадь треугольника
Advertisements

Площадь треугольника. I. Математический диктант Вариант 1 1. Параллелограммом называется … 2. Площадь ромба равна произведению его стороны на … 3. Площадь.
Площадь многоугольника Площадь произвольного многоугольника можно находить, разбивая его на треугольники. При этом площадь многоугольника будет равна сумме.
Площадь трапеции Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Следствие 1. Площадь трапеции равна произведению средней линии.
Теорема косинусов Теорема (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон.
Второй признак подобия треугольников Теорема. (Второй признак подобия.) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.
Трапеция Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеция называется равнобедренной, если.
Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Теорема.
1© Богомолова ОМ. Сумма двух углов параллелограмма равна 80 о. Найдите один из оставшихся углов Ответ: 140 о 2 Богомолова ОМ.
Треугольники Треугольник называется остроугольным если у него все углы острые (рис. 1). Треугольник называется прямоугольным если у него есть прямой угол.
Прямоугольные треугольники Треугольник называется прямоугольным, если … у него есть прямой угол. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника…
Замечательные точки треугольника К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения биссектрис – центр вписанной окружности; б) точка.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Пусть дана плоскость π и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости π. Точку пересечения.
Сумма углов треугольника Следствие. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 о. Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о. Доказательство.
Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность.
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ Теорема. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту. Доказательство. Рассмотрим случай треугольной пирамиды.
Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами,
1© Богомолова ОМ. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности Окружность при этом называется описанной.
Транксрипт:

Площадь треугольника Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Упражнение 1 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 6.

Упражнение 2 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 3.

Упражнение 3 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 2.

Упражнение 4 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 2,5.

Упражнение 5 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 5.

Упражнение 6 На рисунке укажите равновеликие треугольники. Ответ: а), г), е), ж), з); б), д).

Упражнение 7 Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 7 см; б) 1,2 м и 35 дм. Ответ: а) 14 см 2 ; б) 2,1 м 2.

Упражнение 8 Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза соответственно равны: а) 4 и 5; б) 12 и 13. Ответ: а) 6; б) 30.

Упражнение 9 Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание и боковые стороны соответственно равны: а) 6 и 5; б) 16 и 17. Ответ: а) 12; б) 120.

Упражнение 10 Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной a. Ответ:

Упражнение 11 Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а угол между ними равен: а) 30°; б) 45 о ; в) 60 о ; г) 120 о ; д) 135 о ; е) 150 о. Ответ: а) 12. б)в)г) д) е) 12.

Упражнение 12 Площадь треугольника равна 48 см 2. Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне, равной 32 см. Ответ: 3 см.

Упражнение 13 Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника. Доказательство: Пусть CM – медиана треугольника ABC. Треугольники AMC и BMC имеют равные стороны AM = BM и общую высоту CH. Следовательно, их площади равны и треугольники равновелики.

Упражнение 14 Две стороны треугольника равны 6 см и 5 см. Может ли его площадь быть равна: а) 10 см 2 ; б) 15 см 2 ; в) 20 см 2 ? Ответ: а) Да; б) да; в) нет.

Упражнение 15 В треугольнике АВС две стороны равны a и b. При каком угле между ними площадь треугольника будет наибольшей? Ответ: 90 о.

Упражнение 16 Как изменится площадь треугольника, если: а) не изменяя его сторону, увеличить, опущенную на нее, высоту в два раза; б) не изменяя его высоты, уменьшить сторону, на которую она опущена, в три раза; в) одну сторону увеличить в четыре раза, а высоту, опущенную на нее, уменьшить в семь раз? Ответ: а) Увеличится в 2 раза; б) уменьшится в 3 раза; в) уменьшится в 1,75 раза.

Упражнение 17 Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 200 см 2. Ответ: см.

Упражнение 18 Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, отсекаемого его средней линией? Ответ: Одну четвертую.

Упражнение 19 В треугольнике проведены все средние линии. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, образованного этими линиями? Ответ: Одну четвертую.

Упражнение 20 Точка D делит сторону AB треугольника ABC в отношении 2:3. Найдите площадь треугольника ACD, если площадь треугольника ABC равна 10. Ответ: 4.

Упражнение 21 Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника ABM? Ответ: 1/3.

Упражнение 22 Точки A 1 и B 1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях соответственно 3:2 и 2:1. Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C, если площадь треугольника ABC равна 15. Ответ: 2.

Упражнение 23* Точки A 1 и B 1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях соответственно 1:2 и 2:3. Отрезки AA 1 и BB 1 пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника ABM, если площадь треугольника ABC равна 15. Решение. Через точку A 1 проведем отрезок A 1 D, параллельный прямой BB 1. Тогда B 1 D:DC = 1:2, следовательно, AM:MA 1 = 2:1. Площадь треугольника ABA 1 равна 6. Искомая площадь треугольника ABM равна 4.

Упражнение 24* Точки A 1, B 1 и C 1 делят стороны BC, CA и AB в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника ABC, ограниченного отрезками AA 1, BB 1, CC 1, если площадь треугольника ABC равна 1. Решение. Площадь треугольника ABC равна площади треугольника ABC минус площади треугольников ABB, BCC, CAA. Для нахождения площади треугольника СAA проведем отрезок C 1 D параллельный прямой AA 1. Тогда A 1 D:DB = 1:2, AC 1 :CA = A 1 D :CA 1 = 1:6. Значит, площадь треугольника CAA равна 6/7 площади треугольника ACC 1 и равна 2/7. Треугольники ABB и BCC имеют такую же площадь. Следовательно, площадь треугольника ABC равна 1/7.

Упражнение 25* В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны соответственно 4 и 3, CD – биссектриса. Найдите площадь треугольника AСD. Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Отрезок AD составляет четыре седьмых отрезка AB, следовательно, площадь треугольника ACD равна четыре седьмых площади треугольника ABC, т.е. равна

Упражнение 26* В треугольнике ABC AC=6, BC=4, угол ACB равен 30 о, CD – биссектриса. Найдите площадь треугольника AСD. Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Площадь треугольника ABC равна 6. Отрезок AD составляет шесть десятых отрезка AB, следовательно, площадь треугольника ACD равна 3,6.

Упражнение 27* В треугольнике ABC AC=BC=5, AB=6, биссектрисы AA 1 и BB 1 пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника ABD. Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Площадь треугольника ABC равна 12. Отрезок AB 1 составляет 6/11 отрезка AC, следовательно, площадь треугольника ABB 1 равна 72/11. Проведем отрезок B 1 E, параллельный прямой AA 1. Тогда CE:EA 1 = 5:6, EA 1 :A 1 B = 5:11. Площадь треугольника ABD равна 4,5.

Упражнение 28* В прямоугольнике ABCD AB=4, BC=6, E – середина стороны BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Найдите площадь треугольника ABF. Отрезки BF, FH и HD равны. Следовательно, площадь треугольника ABF равна одной третьей площади треугольника ABD и равна 4. Решение. Соединим точку C с серединой G отрезка AD. Обозначим H точку пересечения отрезков CG и BD.

Упражнение 29* Найдите геометрическое место вершин треугольников, равновеликих данному треугольнику и имеющих с ним одну общую сторону. Ответ: Две параллельные прямые.

Упражнение 30* Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м 2 ? Ответ: Да.