Предмет теории вероятностей. Знать и понимать: понятия случайного опыта, случайного события, выборочное пространство(8), элементарного исхода(стр12) типы и примеры случайных событий, (стр15) элементарные и сложные события; вероятность и статистическая частота наступления события;(стр20) равновозможные события и подсчет их вероятности;(стр24) представление о геометрической вероятности;(26) вероятностные методы решения практических задач.(стр31)

1.Понятия случайного опыта Для многих процессов, происходящих в экономике, в природе, на производстве и в повседневной жизни, невозможно Заведомо с уверенностью предсказать исход того или иного явления. Для подтверждения этого приведем примеры таких сфер деятельности, где наблюдаются подобные процессы: страховое дело; инвестиционная деятельность банков; грузовые работы в морсом порту; игра в рулету; распространение эпидемий; контроль качества продукции; оказание скорой медицинской помощи. Этот перечень можно продолжать сколько угодно. Но и этих примеров достаточно для того, чтобы увидеть, что общего в таких сферах деятельности.

Во-первых, соответствующие действия можно повторять многократно, примерно в одинаковых условиях; Во-вторых, исходы этих действий нельзя предсказать однозначно. Все приведенные в этих примерах явления имеют между собой нечто общее, а именно: результат отдельных испытаний здесь предсказать невозможно. Поэтому их называют случайными.

Случайный опыт или случайное испытание Под случайным опытом, или случайным испытанием, будем понимать любое действие, которое можно повторить большое количество раз в приблизительно одинаковых условиях и результаты которого предсказать невозможно. Приведем еще несколько примеров случайных опытов: одноразовое или двукратное подбрасывания монеты; приобретение лотерейного билета; стрельба по мишени. В дальнейшем будут использоваться как синонимы следующие термины: случайный опыт, случайный эксперимент и случайное испытание. В дальнейшем будут использоваться а синонимы следующие термины: случайный опыт, случайный эксперимент и случайное испытание.

требования к случайным испытаниям Во-первых, их можно проводить многоратно.Та, можно много раз покупать лотерейный билет, много раз бросать игральный кубик,много раз извлекать шары из ящика, стрелять по мишени. Однако к таким испытаниям нельзя отнести, например, войну между двумя государствами. Вряд ли она будет происходить много раз. Многократно нельзя повторить запуск космического корабля: это очень дорогое мероприятие. Эти испытания не относят к случайным

Во-вторых, случайные испытания проходят примерно в одинаковых условиях. Не меняется центр тяжести кубика при повтор- ных его бросках. В одной и той же лотерее заранее определено число выигрышей, и оно не меняется по мере распространения билетов до проведения тиража. По мишени стреляет один и тот же стрелок из одного и того же оружия, положение мишени не меняется.

В-третьих, исходы случайных испытаний неоднозначны. Так, при бросании игрального кубика заранее неизвестно,какое число очков выпадет. При покупке лотерейного билета заранее неизвестно, выпадет или не выпадет на него выигрыш, а если выпадет, то какой. При извлечении шара из ящика неизвестно, какого цвета шар будет извлечен. Однако есть такие испытания, исходы которых заранее известны. Так, заранее можно сказать, что при нагревании воды в чайнике при С она закипит. только при наличие всех трех условий делает испытание случайным.

Выборочное пространство Случайный эксперимент это четко определенная процедура, результат которой можно наблюдать, но невозможно точно предсказать заранее. Каждый случайный эксперимент характеризуется выборочным пространством, представляющим собой перечень всех возможных результатов этого эксперимента, описанных заранее, без знания того, что действительно произойдет в ходе эксперимента. Такой подход позволяет сделать случайную ситуацию более определенной и часто помогает также прояснить свое представление о ней. Приведем ряд примеров.

Примеры случайного испытания(опыта) Пример 1. Планируется исследование доходов семей, проживающих вблизи места, де предполагается отрыть новый супермаркет. Случайным образом выбирают телефонный номер, по которому звонят в семью и записывают ее доход с точностью до 10 денежных единиц. В случае, если никто не ответил на звонок или если собеседник не захотел ответить на заданный вопрос о доходе, выбирают новый номер и звонки повторяют до тех пор, пока не будет получен конкретный ответ о размере дохода. Выборочное пространство представляет собой список Возможных значений дохода: 0, 10,20, 30,..., , ,.... Пример 2. Исследуется вопрос о скорости чтения выпускника на- чальной школы, т. е. о количестве слов, прочитываемых учащимся за минуту. Выборочное пространство представляет собой перечень целых неотрицательных чисел от 0 до 300.

Пример 3. В финале конкурса «Мисс Европа» участвуют 10 девушек, из которых победительницей будет только одна. Выборочное пространство состоит из 10 участниц финала: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж,З, И, К. Пример 4. Качество пяти бизнес- проектов оценивается по четы- -рёхбальной системе целым числом от 1 до 4. Выборочное пространство представляет собой набор всех возможных вариантов оценок качества. Это набор 45 = 1024 списков, каждый из которых содержит пять чисел: (1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 1, 3), (1, 1, 1, 1, 4),..., (4, 4, 4, 4, 4).

Случайное событие Любой исход случайного опыта назовем случайным событием. В результате такого опыта случайное событие может или произойти, или не произойти. Случайные события будем обозначать прописными Латинскими буквами А, В, С,.... Случайными событиями являются, например, «выпадение двух гербов» при подбрасывании двух монет, «попадание в цель» при выстреле, «выигрыш» при приобретении лотерейного билета.

Элементарный исход Явления, происходящие при реализации этого комплекса условий, то есть в результате случайного эксперимента, называются элементарными исходами. Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов. Если монету подбросить один раз, то элементарными исходами можно считать выпадение герба (Г) или цифры (Ц). Если случайным экспериментом считать троекратное подбрасывание монеты, то элементарными исходами можно считать следующие: ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ. Множество всех элементарных исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных исходов. Будем обозначать пространство элементарных исходов буквой W (омега большая) i-й элементарный исход будем обозначать wi (w–омега малая). Если пространство элементарных исходов содержит n элементарных исходов, то W=(w 1, w 2,..., w n ).

Итак, каждый раз выполнение случайного эксперимента дает ровно один результат из возможных элементов выборочного пространства. Поскольку выборочное пространство содержит все возможные результаты, то не должно быть никаких неожиданностей :результат эксперимента должен содержаться в выборочном пространстве. Вот результаты одного выполнения каждого из рассмотренных в примерах 14 случайных экспериментов: 1.в исследовании дохода семьи после одного звона, в результате от которого был получен ответ «это вас не касается», удалось дозвониться до человека, который назвал доход семьи ; 2. при изучении скорости чтения был получен результат 115 слов в минуту; 3. в конкурсе «Мисс Европа» победила участница З; 4.при исследовании качества бизнес- проектов был получен список оценок качества для каждого из пяти оцененных проектов (3, 2, 1, 4, 2).

Пространство элементарных событий Ω в случае бросания игральной кости

2. Виды (типы) случайных событий Два события А и В называют совместными, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента (т. е. в соответствующих им множествах экспериментов нет одинаковых (общих) исходов). События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Например, брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Типы (типы) случайных событий Достоверное событие - это событие, которое происходит при каждом проведении рассматриваемого эксперимента. Это значит, что каждый исход эксперимента обладает тем свойством, которым определено событие, являющиеся достоверным, что достоверному событию соответствует все множество исходов данного эксперимента. Например, при бросании игрального кубика событие D - "при бросании кубика выпало не более шести очков" - является достоверным, т. к. каждый исход эксперимента (1,2,3,4,5,6) обладает указанным свойством ( выпавшее число очков не больше 6). Невозможное событие - это событие, которое никогда не может произойти при проведении данного эксперимента. Это значит, что среди всех исходов эксперимента нет ни одного исхода, обладающего тем свойством, которым определено событие, являющееся невозможным, что невозможному событию соответствует пустое множество исходов данного эксперимента. Например, при бросании монеты событие N - "при бросании монеты выпали орел и решка" - является возможным, т. к. нет исходов, при которых появляются орел и решка одновременно. Противоположное событие ( по отношению к рассматриваемому событию А) - это событие А1, которое не происходит, если А происходит, и наоборот. Это значит, что событию А1 соответствуют те исходы эксперимента, которые не соответствуют событию А, причем объединение (сумма) исходов, соответствующих событиям А иА1, всегда равно полному множеству всех исходов данного эксперимента. Например, событие А - "выпало четное число очков" и А1 - "выпало нечетное число очков" при бросании игрального кубика - противоположные, а события А - "выпало четное число очков" и В - "выпало 1 или 3 очка" - не противоположные, т. к. объединение их исходов (2,4,6, и 1,3) не дает полного множества всех исходов эксперимента (1,2,3,4,5,6).

Виды (типы) случайных событий Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. К примеру, стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу. Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.

элементарные и сложные события Событие (исход) это результат мысленных или реальных испытаний. События различают по степени сложности: элементарные и составные. Элементарные события это такие, которые не разложимы ни на какие другие. Задача существенно усложняется, если этих элементарных исходов очень много и их приходится определенным образом комбинировать для составления интересующего нас события. Именно в таких более сложных ситуациях на помощь приходит математика.

Пример элементарного и сложного события Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий. Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с 1 или 2. Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные. Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером 1. Сложное событие - выпадение нечетной грани.

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, т.е. (1.1),где Р(А) вероятность события А ( от probability - вероятность),т число случаев, благоприятствующих событию А, п общее число случаев. Пример. При бросании игральной кости возможны шесть исходов выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков? Р е ш е н и е. Все п = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А «появление четного числа очков» благоприятствуют 3 исхода (случая) 2, 4 и 6 очков. По формуле (1.1) Р(А) = 3/6 = 1/2. 3. Вероятность и статистическая частота наступления события

Вероятностью события в статистическом смысле называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов. Под вероятностью события в статистическом смысле понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний. Таким образом, почти достоверно, что относительная частота события приближенно совпадает с его статистической вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Поэтому, в практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Дополнительные сведения**** * Классическое определение (точнее, классическая ф о р м у л а ) вероятности (1.1) долгое время, с XVII вплоть до Х1Х в., рассматривалось действительно как определение вероятности, так как в то время методы теории вероятностей применялись в основном к азартным играм, которые сводились к схеме случаев, или в задачах, которые искусственно сводились к этой схеме. В настоящее время формальное определение вероятности не дается (это понятие считается первичным и не определяется, а при его пояснении используют понятие относительной частоты события. Поэтому классическое определение (классическую формулу) вероятности (1.1) следует рассматривать не как определение, а как метод вычисления вероятностей для испытаний, сводящихся к схеме случаев.* Отметим свойства вероятности события. 1. Вероятность любого события заключена между нулем I единицей, т.е. 0

Случайными событиями называются такие события, которые могут произойти или не произойти при осуществлении совокупности условий, связанных с возможностью появления данных событий. Число испытаний может неограниченно возрастать. Отношения числа m наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний (или просто частотой события А) и обозначается Р*(А). Таким образом, P*(A)=m/n. Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: 0 P*(A) 1

4.Равновозможные события и подсчет их вероятности События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью. В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного. примеры. Появление герба и появление надписи при бросании монеты - равновозможные события. Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости - равновозможные.

Согласитесь,что одни случайные события происходят чаще,другие -реже. Те события, которые происходят чаще, имеют большую возможность появления, а те которые реже -меньшую. Иначе говоря, подобно тому, как каждая плоская фигура имеет свою меру – площадь, то и каждое случайное событие имеет свою меру возможности появления случайного события –вероятность. Если эксперимент, в котором появляется событие А, имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события А равна,где m – количество исходов, при которых событие А появляется. Из формулы подсчета вероятности вытекают свойства: Свойство 1.. Вероятность достоверного события равна единицы: Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. 0

5.представление о геометрической вероятности Далеко не всегда исходный набор Ω (т.е. пространство всех элементарных событий) является конечным. Например, в качестве Ω можно взять ограниченное множество точек на плоскости или отрезок на прямой. В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой. Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно. Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме по-любому больше P(Ω) = 1. Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.

Определение –Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω: –

Задача Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно.? При этом промахи мимо мишени исключены. Решение: –Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. –Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем: – Ответ: 0,5

Чтобы наглядно представить себе, что такое геометрическая вероятность, возьмите лист бумаги и начертите произвольную фигуру. Треугольник, квадрат или окружность что угодно. Затем возьмите острый, хорошо заточенный карандаш и ткните им в любую точку фигуры. Повторите этот нехитрый процесс несколько раз. Если исключить попадания за пределами фигуры, то получится вот что: Вероятность попадания в фигуру равна P(Ω) = 1. Это вполне логично, поскольку вся наша фигура это и есть пространство элементарных событий Ω; Если некоторую точку (элементарное событие) отметить заранее, то вероятность попадания именно в нее равна нулю. Даже если специально «целиться», точного попадания не будет. Ошибка составит тысячные доли миллиметра, но не ноль; Теперь возьмем две точки. Вероятность попадания в любую из них все равно ноль. Аналогично, если взять 3 точки. Или пять без разницы.

Этот опыт показывает, что конечная сумма нулевых слагаемых всегда равна нулю. Но что происходит, когда слагаемых становится бесконечно много? Здесь ситуация не так однозначна, и возможны три варианта: Сумма равна нулю, как и для конечного набора точек. Если в нашем опыте отмечать точки до бесконечности, вероятность попадания в их объединение все равно нулевая; Сумма равна некоторому положительному числу этот случай принципиально отличается от первого. Здесь и возникает геометрическая вероятность; Сумма равна бесконечности бывает и такое, но сейчас нас это не интересует. Почему так происходит? Механизм возникновения положительных чисел и бесконечностей связан с понятием счетности множества. Кроме того, надо понимать, что такое мера Лебега. Впрочем, эти знания действительно нужны вам, только если вы учитесь на математика.

6.вероятностные методы решения практических задач. Правило сложения вероятностей

6.вероятностные методы решения практических задач. Правило произведения вероятностей

Правила суммы и произведения вероятностей на примере множеств Пересечением, или произведением, событий А 1, А 2,..., А п называют событие, состоящее из тех и только тех исходов, которые являются общими для всех данных событий, и обозначают: A 1 A 2... A n, или A k, или A 1 · A 2 ·... · A n. Оно происходит тогда и только тогда, когда происходит и событие А 1, и событие А 2, и т. д., и событие An. Объединением, или суммой, событий А 1, А 2,..., A n называют событие, состоящее из всех тех и только тех исходов, которые принадлежат хотя бы одному из данных событий и обозначают:A 1 U A 2 U... U An, Или U Ak, или A 1 + A A n. Оно происходит тогда и только тогда, ода происходит хотя бы одно из событий A 1, A 2,..., An.

Приложения Задачи будут приведены в приложениях к основным теоретическим вопросам. Цель научиться количественно измерять случайность. Случайность будет измеряться подобно тому, а измеряется длина, угол, площадь, скорость, сила и т. д. Мерой случайности является вероятность. Интуитивно часто можно ответить на вопрос, какова вероятность того или иного события. Значительно трудней ответить на вопрос о том, что же такое вероятность. И это не случайно физическую или геометрическую величину легче измерить, чем объяснить, а что же такое длина, площадь, скорость, сила тока и т. д.