Вершины, ребра и грани Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Вершины, ребра и грани Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней.
Advertisements

Понятие многогранника. Элементы многогранника грани рёбра вершины диагонали многогранника диагонали грани плоский угол при вершине двугранный угол при.
Задача Эйлера То, что не получилось на рисунке, не является доказательством невозможности соединения дорожками домиков и колодцев. Для доказательства воспользуемся.
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит.
Задача Эйлера То, что не получилось на рисунке, не является доказательством невозможности соединения дорожками домиков и колодцев. Для доказательства воспользуемся.
Теорема Эйлера и следствие из неё Теорема Эйлера говорит о соотношении между количеством вершин, ребер и граней многогранника. Она впервые появилась в.
МНОГОГРАННИКИ Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны.
МБОУ «Айская СОШ» Работу выполнила: Овечкина Анна, ученица 10 класса Ая 2012.
Классификация и свойства правильных многогранников
МНОГОГРАННИКИ Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны.
многогранником Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной.
МНОГОГРАННИКИ Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны.
Полувписанная сфера Сфера называется полувписанной в многогранник, если она касается всех его ребер. Центром полувписанной сферы является точка, равноудаленная.
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая.
Велик ли мир правильных многогранников? Ученицы 11 класс Ивановой Виктории.
Многогранники вокруг нас Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному.
Подготовил реферат:Запорожец Георгий. Группа 2Г31.
– это выпуклый многогранник, у которого гранями являются правильные многоугольники и все многогранные углы равны.
Упражнение 1 Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 2, 3, 6. Ответ: 7.
Теорема Эйлера В - чис-ло вершин, Р ребер и Г - граней данного многогранника: Название многогранникаВРГ Треугольная пирамида 464 Четырехугольная пирамида.
Транксрипт:

Вершины, ребра и грани Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника. Название многогранника ВРГ Треугольная пирамида Четырехугольная пирамида Треугольная призма Четырехугольная призма n-угольная пирамида n-угольная призма n+12n2n 2n2n3n3nn+2

Упражнение 1 Посчитайте число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) для многогранников, изображенных на рисунке. Чему равно В – Р + Г? Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4; б) В = 8, Р = 12, Г = 6; в) В = 6, Р = 12, Г = 8; г) В = 20, Р = 30, Г = 12; д) В = 12, Р = 30, Г = 20.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Из приведенных примеров непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для рассмотренных многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера. Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

Л. ЭЙЛЕР Леонард Эйлер ( ) - один из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики. Эйлер долгое время жил и работал в России, был действительным членом Петербургской Академии наук, оказал большое влияние на развитие отечественной математической школы и в деле подготовки кадров ученых-математиков и педагогов в России. Поражает своими размерами научное наследие ученого. При жизни им опубликовано 530 книг и статей, а сейчас их известно уже более 800. Причем последние 12 лет своей жизни Эйлер тяжело болел, ослеп и, несмотря на тяжелый недуг, продолжал работать и творить. Все математики последующих поколений так или иначе учились у Эйлера, и недаром известный французский ученый П.С. Лаплас сказал: "Читайте Эйлера, он - учитель всех нас".

Упражнение 2 Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы? Ответ: Да.

Упражнение 3 Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды? Ответ: Да.

Упражнение 4 Посчитайте число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) у многогранников, изображенных на рисунке. Выполняется ли для них равенство Эйлера? Ответ: а) В = 12, Р = 18, Г = 8, да; б) В = 16, Р = 24, Г = 10, да.

Упражнение 5 Приведите пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера. Ответ: Например, куб, из которого вырезан прямоугольный параллелепипед.

Упражнение 6 Чему равна эйлерова характеристика многогранника (В – Р + Г), где В – число вершин, Р – рёбер и Г – граней многогранника), представленного на рисунке? Ответ: 0.

Упражнение 7 Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Ответ: а) В = 6, Г = 8;б) В = 7, Г = 10.

Упражнение 8 Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15? Ответ: а) В = 8, Г = 6;б) В = 10, Г = 7.

Упражнение 9 Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника. Ответ: В = 8, Г = 6, куб.

Упражнение 10 В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника. Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.

Упражнение 11 Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если к одной из его граней пристроить пирамиду? Изменится ли В – Р + Г? Ответ: Пусть пристроена n-угольная пирамида, тогда количество вершин станет (В+1), рёбер - (Р+n), граней - (Г+n). В – Р + Г не изменится.

Упражнение 12 Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если от него отсечь один из многогранных углов? Изменится ли В – Р + Г? Ответ: Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество вершин будет (В+m-1), рёбер - (Р+m), граней - (Г+1). В – Р + Г не изменится.

Упражнение 13* Докажите, что в любом выпуклом многограннике число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми. Доказательство. Обозначим через В i число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится i ребер. Тогда для общего числа вершин В имеет место равенство В = В 3 + В 4 + В 5 + …. Аналогично, обозначим через Г i число граней выпуклого многогранника, у которых имеется i ребер. Тогда для общего числа граней Г имеет место равенство Г = Г 3 + Г 4 + Г 5 + …. Имеем: 3В 3 + 4В 4 + 5В 5 + … = 2Р, 3Г 3 + 4Г 4 + 5Г 5 + … = 2Р. По теореме Эйлера выполняется равенство 4В – 4Р + 4Г = 8. Подставляя вместо В, Р и Г их выражения, получим 4В 3 + 4В 4 + 4В 5 + … – (3В 3 + 4В 4 + 5В 5 + …) – (3Г 3 + 4Г 4 + 5Г 5 + …) + 4Г 3 + 4Г 4 + 4Г 5 + … = 8. Следовательно, В 3 + Г 3 = 8 + В 5 + … + Г 5 + …, значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.

Упражнение 14* Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется грань с числом сторон, меньшим шести. Доказательство. Обозначим через В i число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится i ребер. Тогда для общего числа вершин В имеет место равенство В = В 3 + В 4 + В 5 + …. Аналогично, обозначим через Г i число граней выпуклого многогранника, у которых имеется i ребер. Предположим, что у многогранника нет граней с числом сторон, меньшим шести. Тогда для общего числа граней Г имеет место равенство Г = Г 6 + Г 7 + Г 8 + …. Имеем: 3В 3 + 4В 4 + 5В 5 + … = 2Р, 6Г 6 + 7Г 7 + 8Г 8 + … = 2Р. Из этих равенств следует выполнимость неравенств 3В 2Р и 6Г 2Р, из которых получаем: 3В – 3Р + 3Г 0, а по теореме Эйлера должно выполняться равенство 3В – 3Р + 3Г = 6. Полученное противоречие показывает, что неверным было наше предположение об отсутствии граней с числом сторон, меньшим шести. Значит, в выпуклом многограннике обязательно найдется грань с числом сторон, меньшим шести.

Упражнение 15* Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется многогранный угол с числом ребер, меньшим шести. Доказательство получается из предыдущего, если в нем буквы В и Г поменять местами.