Понятие многогранника. Элементы многогранника грани рёбра вершины диагонали многогранника диагонали грани плоский угол при вершине двугранный угол при. - презентация

1 Понятие многогранника

2 Элементы многогранника грани рёбра вершины диагонали многогранника диагонали грани плоский угол при вершине двугранный угол при ребре

3 Многогранники выпуклые невыпуклые

4 Вид многогранника Число: Значение выражения В-Р+Г вершин (В) ребер (Р) граней (Г) Параллелепипед Шестиугольная призма Тетраэдр Пятиугольная усечённая пирамида В-Р+Г=2

5 ТЕОРЕМА ДЕКАРТА - ЭЙЛЕРА Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

6 1 Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы? Ответ: Да.

7 2 Дан куб, из которого вырезан прямоугольный параллелепипед. Выполняется ли соотношение Эйлера для данной невыпуклой фигуры?

8 3 Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Ответ: а) В = 6, Г = 8;

9 4 Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15? Ответ: а) В = 8, Г = 6;

10 5 (Д.з.) Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника.

11 6 (Д.з.) В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника.

12 7 Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если к одной из его граней пристроить пирамиду? Изменится ли В – Р + Г?

13 8 Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если от него отсечь один из многогранных углов? Изменится ли В – Р + Г? Ответ: Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество вершин будет (В+m-1), рёбер - (Р+m), граней - (Г+1). В – Р + Г не изменится.