Угол между скрещивающимися прямыми Урок стереометрии в 10 классе учитель математики МБОУ СОШ 8 Рузаевского муниципального района Республики Мордовия Н.В.Перепелова

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчетливых, ярко очерченных идеях, где на виду всякая деталь умозаключений, а иногда поражает она нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что недосказанное, но многообещающее. Н.Е.Жуковский

Вопросы для повторения Взаимное расположение прямых в пространстве Какой из четырех углов, полученных при пересечении двух прямых, мы называем углом между пересекающимися прямыми Дайте определение угла между скрещивающимися прямыми

Повторение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися. a b a ba bb M mn

Повторение: формулу (теорема косинусов) При нахождении угла между пересекающимися прямыми используют

Устные упражнения

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CB 1 A C B D A A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Ответ: 90

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А 1 В и CB 1 A A C B D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Ответ: 60

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А 1 В и AC A A C B D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Ответ: 60

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD 1 A C B D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 C2C2 B2B2 D C3C3 B3B3

A C B D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 C2C2 B2B2 D C3C3 B3B3 B C2C2 D1D1

B C2C2 D1D1

B C2C2 D1D A C B D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 C2C2 B2B2 D C3C3 B3B3 Ответ: 90

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CС 1 A B C D E F A1A1 F1F1 E1E1 D1D1 C1C1 B1B1 Ответ: 90

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и DE 1 A B C D E F A1A1 F1F1 E1E1 D1D1 C1C1 B1B1 Ответ: 45

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и A 1 С 1 A B C D E F A1A1 F1F1 E1E1 D1D1 C1C1 B1B1 Ответ: 30

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А 1 В и ED 1 A B C D E F A1A1 F1F1 E1E1 D1D1 C1C1 B1B1 Ответ: 45

Практикум

1 1 1 А В С D Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 О О1О1 В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1. Постройте сечение, проходящее через точку А 1 параллельное плоскости В 1 ВС 1 1.АА 1 параллельно ВВ 1 2.А 1 D 1 параллельно В 1 С 1 3.АА 1 и A 1 D 1 пересекаются 4.Плоскость АА 1 D 1 D параллельна плоскости ВВ 1 С 1 С А В С D Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1

1 1 1 А В С D Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 О О1О1 В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1. Постройте в плоскости АА 1 D 1 прямую, параллельную прямой ВС 1 1.Плоскость (АА 1 D 1 ) параллельна плоскости (ВВ 1 С 1 ) 2.А 1 О 1 =В 1 С 1 ( радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник) 3.АО 1 =ВС 1 и параллельны

Решите задачи В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1

1 1 1 А В С D Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 О О1О1 А В С D Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 1)Построим плоскость АА 1 D 1 D параллельную плоскости ВВ 1 С 1 С. Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1, и искомый угол φ между прямыми AB 1 и BC 1 равен B 1 AO 1.

3) По теореме косинусов AO 1 + AB 1 - B 1 O 1 Cos B 1 AO 1 = 2 AO 1 AB 1 Cos B 1 AO 1 =0,75 1 О1О1 В1В1 А Ответ: 0,75 В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1

Самостоятельная работа

баллы Критерии оценивания 2 Правильный ход решения. Верно построен или описан искомый угол. Получен верный ответ 1 1) Правильный ход решения. Получен верный ответ, но имеется ошибка в построении и описании искомого угла, не повлиявшая на ход решения 2) Правильный ход решения. Верно построен и описан искомый угол, но имеется ошибка в одном из вычислений, допущенная из-за невнимательности, в результате чего получен неверный ответ 0 1) Ход решения правильный, но оно не доведено до конца, или решение отсутствует. Нет ответа 2) Ход решения правильный, но имеются существенные ошибки в вычислениях, приведшие к неправильному ответу 3) Неправильный ход решения, приведший к неверному ответу 4) Верный ответ получен случайно при неверном решении или существенных ошибках в вычислениях Критерии оценивания выполнения задания С2

Способы решения задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми

С помощью параллельного переноса Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися. Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. a b a ba b M m 1

В единичном кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1. D D1D1 А А1А1 В В1В1 С С1С ) Прямая AD 1 параллельна прямой ВС 1, 2) Треугольник В 1 AD 1 – равносторонний, В 1 AD 1 = 60 0 Угол между прямыми АВ 1 и ВС 1 равен углу В 1 AD 1. Ответ: 60 0

2 D А В С 2 (AC + BD )-(CD + AB ) Cos AD,CB AD CB 2222 С помощью тетраэдра

2 D D1D1 АА1А1 В В1В1 С С1С1 2 ( BB 1 + AC 1 )-( AB + B 1 C 1 ) Cos AB 1, BC 1 AB 1 BC В единичном кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1. 1.Построим тетраэдр с противоположными ребрами AB 1 и BC 1 2.Применяя формулу, получаем Cos AB 1,BC 1 =0.5 AB 1,BC 1 =60

1)Построим плоскость, которой принадлежит прямая а, прямая b ее пересекает 2) Построим b 1 проекцию прямой b на плоскость 3)Прямые a и b 1 пересекаются, прямые b и b 1 пересекаются 3 a b a ba b b1b1b1b1 Cos ab =Cos ab 1 Cos bb 1 Способ «в три косинуса»

3 D D1D1 А А1А1 В В1В1 С С1С1 Cos AB 1,BC 1 =Cos AB 1 B Cos B 1 BC 1 1. Прямая BC 1 лежит в плоскости (B 1 BC) 2. Построим проекцию ребра АВ 1 на плоскость (B 1 BC) 3.Применяя формулу, получаем Cos AB 1,BC 1 =0.5 AB 1,BC 1 =60 В единичном кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1.

D D1D1 А А1А1 В В1В1 С С1С ) Введем систему координат, считая началом координат (·) А, осями координат – прямые АВ, АD, АА 1. cos = 1/2, (АВ 1 ;AD 1 ) = Ответ: 60 0 Векторный способ В единичном кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1.

Жизнь не спросит, что ты учил. Жизнь спросит, что ты знаешь.

Презентация урока Электронный журнал Статья В.И.Рыжика «Об углах между скрещивающимися прямыми и немного о прочих углах» Сайт учителя Домашнее задание

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1, найдите угол между прямыми : CА и B 1 D C 1 B и CA 1 C 1 B и DB 1 CА 1 и DC 1 BD 1 и DC 1 BA 1 и AC 1 BA 1 и DB 1 AD 1 и CA 1 AD 1 и DB 1 C 1 A 1 и DB 1 C 1 A 1 и BD 1 Домашнее задание

В правильной четырехугольной пирамиде SАВСД, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми АЕ и SВ. Домашнее задание

Учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса Тер-Ованесян Геворк Левонович Решение задач С2 pryamyimi-zadanie-s2/ pryamyimi-zadanie-s2/ Видео-лекции и уроки

В.А.Смирнов Готовимся к ЕГЭ. Геометрия. Стереометрия./ – М.:МЦНМЩ,2011 Литература В.А.Смирнов ЕГЭ Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия./ Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – М.:МЦНМЩ,2011

Подведение итогов урока: Сегодня на уроке я повторил … Сегодня на уроке я научился … Мне необходимо еще поработать над …

В правильной четырехугольной пирамиде SАВСД, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми АЕ и SВ. D А О В С S Е М К Д Р Р М К Ответ: 2 Проверка решения

1 1 1 А В С D Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 О О1О1 2) Рассмотрим треугольник АВ 1 О 1. AO 1 = (диагональ квадрата) AB 1 = (диагональ квадрата) B 1 O 1 = 1 (радиус описанной окружности) В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1