ПЯТЬ ПОДСТРУКТУР МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ: КАК ИХ ВЫЯВИТЬ И ИСПОЛЬЗОВАТЬ В ПРЕПОДАВАНИИ

Структура математического мышления Топологическая Порядковая Метрическая Алгебраическая Проективная

Топологическая подструктура Обеспечивает замкнутость, компактность, связность осуществляемых мышлением преобразований, непрерывность трансформаций, мысленное выращивание, вылепливание в представлении требуемого объекта (его образа)

Порядковая подструктура Дает возможность постоянного сопоставления человеком математических объектов и их элементов по таким характеристикам, как больше – меньше, ближе – дальше, часть – целое, изменение направления движения и его характера, положение, форма, конструкция предмета.

Метрическая подструктура Позволяет вычленять в объектах и их компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные значения размеров, углов, расстояний).

Алгебраическая подструктура Прямые и обратные операции над математическими объектами, расчленение и соединение их составляющих, замена нескольких операций – одной из определенной совокупности, объединение нескольких блоков предмета в один, выполнение математических преобразований в любой последовательности.

Проективная подструктура Обеспечивает изучение математического объекта или его изображения с определенного самостоятельно выбранного положения, проецирование с этой позиции объекта на изображение (или изображения на объект) и установления соответствия между ними.

Указанные пять подструктур в математическом мышлении человека существуют не автономно, не изолированно друг от друга, а пересекаются и находятся в определенной зависимости. В соответствии с индивидуальными особенностями человека, та или иная подструктура мышления занимает место главной, ведущей, доминирующей.

Тест, позволяющий определить ведущую подструктуру мышления Учащимся предлагается исключить из ряда фигур лишнюю фигуру и обосновать свой ответ

Дети с ведущей топологической подструктурой мышления Исключают фигуру 5 на том основании, что она находиться вне замкнутого контура

Дети с ведущей метрической подструктурой мышления Исключают фигуру 4, поскольку у нее только пять граней, в то время как у всех остальных фигур – по шесть

Дети с ведущей алгебраической подструктурой мышления Исключают фигуру 2 как единственную не цельную, а сложенную из нескольких частей

Дети с ведущей проективной подструктурой мышления Утверждают, что логическую закономерность нарушает фигура 3, так как, в отличии от всех остальных, центр ее проецирования на чертеж находится слева, а не справа от фигуры

Дети с ведущей порядковой подструктурой мышления Утверждают, что лишней является фигура 1, и обосновывают это тем, что она резко отличается от остальных своими размерами (значительно больше)

Задача: В комнате стоят 15 стульев и табуретов, у которых вместе 50 ножек. Сколько стульев и сколько табуретов находится в комнате, если у стульев по 4 ножки, а у табуретов – по 3?

Топологический способ рассуждения Подсказка: мысленно выноси из комнаты вместе по одному стулу и по одному табурету Каждый раз отвечай на следующие вопросы подсказки

Этапы повторения I разII разIII разIV разV раз Вопросы-подсказки 1. Сколько вместе ножек у одного табурета и у одного стула? = 7 2. Сколько всего ножек у тех вещей, которые еще не вынесены? 50 – 7 = 4343 – 7 = 3636 – 7 = 2929 – 7 = 2222 – 7 = Сколько вещей осталось (в штуках): табуретов и стульев? 15 – 2 = 1313 – 2 = 1111 – 2 = 99 – 2 = 77 – 2 = 5 4. Могут ли остаться невынесенными только табуреты или только стулья? Нет. Число 43 не делиться ни на 3, ни на 4 36 : 3 = : 4 = 9 Нет. Должно остаться 11 штук, но 12 > 11, а 9 < 11 Нет. Число 29 не делится ни на 3, ни на 4 Нет. 22 не делится ни на 3, ни на 4 15 : 3 = 5 Да, осталось 5 табуретов 5. Если ответ отрицательный, повтори все рассуждения с вопроса 1 для следующего раза. 6. Сколько всего табуретов? Пятый раз вынесли пятый табурет (вместе с пятым стулом), и осталось 5 табуретов, значит, всего было = 10 (табуретов) 7. Сколько стульев? 15 – 10 = 5 (стульев)

Порядковый способ рассуждения Подсказки: пусть в комнате стоят только стулья. 1. Сколько тогда должно быть ножек? 4٠15 = 60 (ножек). 2. На сколько ножек оказалось больше, чем было на самом деле? 60 – 50 = 10 (ножек). 3. Почему ножек оказалось на 10 больше? Так как вместо табуретов брали стулья. 4. На сколько больше ножек у стула, чем у табурета? На 4 – 3 = 1 (ножку). 5. Сколько в комнате табуретов? 10 : 1 = 10 (табуретов) 6. Сколько стульев? 15 – 10 = 5 (стульев).

Проективный способ рассуждения Дети с данной подструктурой прежде всего пытаются построить наглядный образ ситуации, описанной в задаче. Например, для данной задачи попробуем изобразить ножки от табуретов и стульев, если они расположены в один ряд Далее идут рассуждения, аналогичные порядковому способу, но в отличии от него они строятся посредством постоянной опоры на рисунок или схему. табуретыстулья

Метрический способ рассуждения Учащиеся с данной ведущей подструктурой с большим желанием и удовольствием готовы длительное время без устали совершать различные операции над числами. При этом, особая интуиция позволяет им «почувствовать» те числа, которые следует брать, и к ответу они приходят довольно быстро: 4٠7+3٠8 = 52 – не удовлетворяет; 4٠5+3٠10 = 50 – удовлетворяет. Ответ: 10 табуретов и 5 стулев

Алгебраический способ рассуждения Здесь возможны два различных подхода: 1) Комбинирование всевозможными вариантами ответов с помощью прикидки или перебора возможных вариантов; 2) Комбинирование (совмещение) различных способов решения.

Например: = 7 (ножек) вместе у одного табурета и одного стула ٠ 5 = 35 (ножек) вместе у 5 табуретов и 5 стульев – 35 =15 (ножек) осталось несосчитанных – 10 = 5 (штук) осталось либо табуретов, либо стульев : 5 = 3 (ножки). Значит, осталось 5 табуретов = 10 (табуретов). Следующее действие (15 – 10 = 5 шт.) не выполняется (оно сворачивается, так как кажется этим детям очевидным), и сразу записывается ответ: 10 табуретов и 5 стульев.

Как разные учащиеся сравнивают дроби Сравним дроби и

Дети с ведущей топологической подструктурой мышления Строят единичный отрезок, делят его на 3 и 4 части и откладывают отрезки длинной 2/3 и ¾. ¾ 2/3 Так как на чертеже ясно видно, что отрезок 2/3 включается в отрезок ¾, то легко делается соответствующий вывод о том, что 2/3< ¾.

Дети с ведущей порядковой подструктурой мышления Уравнивают знаменатели дробей, а затем сравнивают числители и делают соответствующий вывод: 2/3=8/12; ¾ = 9/12, и, следовательно, 2/3

Дети с ведущей метрической подструктурой мышления Ищут разность двух обыкновенных дробей: ¾ - 2/3 = (9 – 8)/12 = 1/12, следовательно, ¾>2/3

Дети с ведущей алгебраической подструктурой мышления Пытаются дополнить каждую дробь до целого, в данном случае до единицы: 2/3 + 1/3 = 1; ¾ + ¼ = 1. Так как 1/3 > ¼, то очевидно, что 2/3 < ¾.

Дети с ведущей проективной подструктурой мышления Располагают друг под другом два параллельных отрезка. На одном отмечают длину 2/3, на другом – ¾, проецируют один полученный отрезок на другой и сравнивают длины полученных проекций. В итоге получают ответ: 2/3 < ¾. 2/3 ¾

Выводы: Отсутствие учета индивидуальных особенностей математического мышления учащихся ведет к тому, что педагог навязывает детям тот способ рассуждения, который свойственен ему. Дети, ведущая подструктура которых совпадает с ведущей подструктурой педагога, легко его понимают. Для остальных школьников усвоение математики – мука. Если учитель преподает в одном классе несколько лет, то возможно, что за это время он постепенно «переломает» и переформирует ведущую подструктуру некоторых школьников. В результате дети начинают думать так, как объяснял этот процесс учитель Школьники с наиболее устойчивой ведущей подструктурой продолжают испытывать трудности

Не ломать математическую индивидуальность ученика, а учитывать ее и строить процесс обучения в соответствии с ней – наша задача.