Горкунова О.М.

Взаимное расположение в пространстве 2 прямыхПрямой и плоскости2 плоскостей

Взаимное расположение 2 прямых в пространстве

Параллельность прямых Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. a || b с а с b Т (о параллельных прямых) Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. M ¢a b||а и МЄ b (b – единственная) Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. СD || АВ доказательство

Свойства параллельных прямых Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость Свойство 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны доказательство

Признаки параллельности прямых в пространстве: Признак 1. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны. Признак 2. Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. Доказана будет позже Докажите самостоятельно

16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости α. 17. На рисунке точки М, N, Q и Р середины отрезков DB, DC, АС и АВ. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD= 12 см, ВС =14 см. Из условий PM || QN. Отсюда следует, что P, Q, M и N лежат в 1 плоскости. Получим, что MN и PQ - средние линии в Δ BDC и Δ ABC, значит, MN || BC и PQ || BC MN || PQ MNPQ - параллелограмм

18. Точка C лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В 1 и С 1. Найдите длину отрезка СС 1, если: а) точка С середина отрезка АВ и ВВ 1 =7 см; б) АС:CB=3:2 и ВВ 1 =20см. Так как BB 1 || CC 1, то эти отрезки лежат в одной плоскости р (из определения). Тогда С β и В β, поэтому ВС β. Значит, прямые ВВ 1 СС 1 АВ р. Рассмотрим треугольник АВ 1 В в плоскости β. (по 2-м углам) б) а)

19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α. По лемме CD α, т.к. CD || AB, а АВ α. По лемме AD α, т.к. AD || BC, а ВС α.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. а М Дано: а – прямая, М ¢ а Доказать: b а, М Є b b - единственная Доказательство: 1) - единственная плоскость ( из С 1 ) b 2) М Є b и b а, причем b – единственная (из планиметрии) Вернуться ч.т.д.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми (Л 1 ) Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. вернуться Дано: а b, a = M Доказать: b Доказательство: 1) а b, - един. плоскость 2) M Є M Є = p ( по А 3 ), M Є p b p = N, N Є 3) b = N, N – единственная точка ч.т.д.

Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a c и b c, то a b). Дано: а c, b c Доказать: а b (т.е. а и b лежат в одной плоскости и а и b не пересекаются) а b c Доказательство: 1) Пусть К Є b, через а и К ¢ а проходит - единственная плоскость (из С 1 ) К 2) докажем, что b Є (методом от противного): если b c и b, то с ( по Л 1 ), а, что невозможно, т.к. а 3) (метод от противного) а b = P - противоречие, т.к. по Т (о параллельных прямых) через точку Р проходит единственная прямая параллельная прямой с Ч.т.д. вернуться