Выражения и их преобразования Задания повышенного и высокого уровня ГИА 2009 г.

Повышенный уровень Разложите на множители: а) с 2 а – а – с б) х 2 у + 1 – х 2 – 1 2. Сократите дробь: а) б) 1. Упростите выражение: а) б) 3.

Повышенный уровень Разложите на множители: а) х 4 – 6х 2 – 27 б) х 4 + х 2 – Упростите выражение: а) б) 4.

Повышенный уровень Покажите, что при любых значениях п выражение принимает одно и то же значение : а) б) 7. Упростите выражение: а) б) 6.

Повышенный уровень При каких значениях переменной не имеет смысла выражение: а) б) 8.

Высокий уровень Докажите тождество: а) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) + 1 = (х 2 + 5х + 5) 2 б) (х – 3)(х – 1)х(х + 2) + 9 = (х 2 – х – 3) 2 9. а) Докажите, что если сумма чисел а и b равна 1, то а 3 + b 3 = 1 – 3ab. б) Докажите, что если разность чисел а и b равна 1, то а 3 – b 3 = 1 + 3ab. 10.

Высокий уровень Найдите наименьшее значение выражения и определите, при каких значениях х и у оно достигается: а) х 2 + у 2 + 4х – 6у б) х 2 + у 2 – 6х + 8у 11. а) Докажите, что ни при каких значениях а и b значение выражения 5а 2 + 3b a – 12b + 34 не равно нулю. б) Докажите, что ни при каких значениях а и b значение выражения 3а 2 + 4b 2 – 18a + 8b + 32 не равно нулю. 12.

Решение 1 а) с 2 а – а – с = а(с 2 – 1) – (с 2 – 1) = = (с 2 – 1)(а – 1) = (с – 1)(с + 1)(а – 1) б) х 2 у + 1 – х 2 – 1 = х 2 (у – 1) – (у – 1) = = (у – 1)(х 2 – 1) = (у – 1)(х – 1)(х + 1)

Решение 2 а) Корни квадратного трехчлена 4а 2 – 9а + 2: а 1 = ¼, а 2 = 2.

Решение 2 б) Корни квадратного трехчлена 6с 2 – 7с + 1: с 1 = 1, а 2 = 1/6.

Решение 3 а)

Решение 3 б)

Решение 4 а) Введем замену t = x 2, получим квадратный трехчлен t 2 – 6t – 27; его корни t 1 = – 3, t 2 = 9. х 4 – 6х 2 – 27 = (x 2 – 9)(x 2 + 3) = = (x – 3)(x + 3)(x 2 + 3)

Решение 4 б) Введем замену t = x 2, получим квадратный трехчлен t 2 + t – 20; его корни t 1 = – 5, t 2 = 4. х 4 + х 2 – 20 = (x 2 – 4)(x 2 + 5) = = (x – 2)(x + 2)(x 2 + 5)

Решение 5 а)

Решение 5 б)

Решение 6 а) б)

Решение 7 а) б)

Решение 8 а) 1) а + 1 = 0, а = – 1 2) 3) 0, а = а

Решение 8 б) 1) х – 1 = 0, х = 1 2) 3) 0, х = 0 1 х х + х