Если у прямоугольных треугольников по одному острому углу равны, то треугольники подобны. тогда АВСА´В´С´. В =В´, С´С´ А´А´ В´В´ С А В АВС и А´В´С´ прямоугольные с прямыми углами С и С´, Теорема

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Проведем высоту СД. С АВ Д Треугольники АВС и СВД – прямоугольные, причем В у них общий,тогда АВССВД. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: АВВС ВД =откуда ВС² = АВ ВД, или ВС = АВ ВД Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. ВС - катет, ВД – проекция этого катета на гипотенузу, АВ – гипотенуза. В прямоугольном АВС:

С АВ Д АДСД ВД =откуда СД² = АД ВД, или СД = АД ВД СД - высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, ВД – проекция одного из катетов катета на гипотенузу, ВД – проекция второго катета на гипотенузу. Из подобия треугольников АВС и СВД следует, что САВ = ДСВ, тогда прямоугольные треугольники АСД и СВД – подобны. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: В прямоугольном АВС: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. С А В Д Рассмотрим произвольный треугольник АВС. СД – биссектриса С, АД и ВД – отрезки, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, АС АДВД ВС тогда =

С А В Д Дано: СД – биссектриса С, АД и ВД – отрезки, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, АС АДВД ВС = АВС, Доказать: Доказательство. 1) Если АВС – равнобедренный с основанием АВ, то свойство очевидно. 2) Пусть АВС - не равнобедренный. Из вершин А и В опустим высоты АF и ВЕ. F Е У прямоугольных треугольников АСF и ВСЕ тогда АСF ВСЕ,значит ВС АС ВЕ АFАF = У прямоугольных треугольников АДF и ВДЕ тогда АДF ВДЕ,значит ВС АFАF ВЕ АFАF = откуда ВС АС = ВС АFАF АСF = ВСЕ, АДF = ВДЕ (вертикальные),