«Позиционные системы счисления» Урок 1 по теме: «Позиционные системы счисления» Желобякова Татьяна Юрьевна учитель информатики средней общеобразовательной школы 77 г. Ярославля Преподавание информатики

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления. Хотя все позиционные системы счисления являются равноправными, в повседневной жизни мы обычно пользуемся десятичной системой. Очевидно, что эту систему мы предпочитаем остальным позиционным системам счисления лишь потому, что количество пальцев на руках у человека равно десяти, а именно пальцы первоначально служили основным "инструментом" для счета.

Определение Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Все позиционные системы счисления «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам: справедливы одни те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный; справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком, знакомые по действиям в десятичной системе счисления; правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения. Позиционных систем существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом.

Определения Алфавит – это множество используемых цифр в данной системе. Основание системы счисления – это размер алфавита (число цифр). Например: на данный момент мы используем цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – это алфавит системы; Всего цифр 10 – это основание системы, поэтому система называется десятичной.

Виды позиционных систем Традиционные Р- ичные Смешанные Р-Q- ичные Нетрадиционные

Традиционные Р-ичные системы счисления Если за основание системы принять любое натуральное число Р=2,3,4,5,…, то системы будут называться Р- ичными (традиционными) или соответственно двоичная, троичная, четверичная, пятеричная и т.д. Алфавитом произвольной системы счисления с основанием Р служат числа 0,1,2,3,4,5,…, Р-1, каждое из которых должно быть записано с помощью одного уникального (отличного от других) символа. Младшей цифрой является 0, а старшей цифрой соответственно Р-1. Если основание системы счисления не больше 10, то используют цифры от 1 до Р-1. Если основание больше 10, то в роли цифр выступают латинские буквы в алфавитном порядке. Для позиционных систем счисления с основаниями большими 36 единых правил для формы записи цифр не существует. В дальнейшем, если при описании произвольной Р- ичной системы счисления вид ее цифры указан не будет, то будем считать, что первые десять цифр совпадают десятичными, а следующие 26 чисел – с латинскими буквами. Остальные цифры будем записывать в виде соответствующего числа в десятичной системе, заключённого в квадратные скобки. Так число [50] с системах счисления с основанием больше 50-и будет обозначать 51-ю по счёту от нуля цифру. Аналогично, для записи максимальной цифры в произвольной системе счисления можем использовать обозначение [Р-1].

Позиционные системы счисления Название системыОснова ние Алфавит Двоичная20,1 Троичная30,1,2, Четверичная40,1,2,3 Пятеричная50,1,2,3,4 Восьмеричная80,1,2,3,4,5,6,7 Десятичная100,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Двенадцатеричная120,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В Шестнадцатеричная160,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F Тридцатишестиричная360,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F,G, H,I,J,K,L,M,N,O,P,R,S,T,U,V,X,Y,Z

Слово великим… Король Швеции Карл XII был поклонником восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления, считая что она ближе к «самой природе».

Слово великим… Д. И. Менделеев очень интересовался уравновешенной троичной системой, может быть поэтому он открыл знаменитую формулу спирта.

Правило построения натурального ряда В каждой позиционной системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше1, 3 больше 2 и т.д. Замена цифры следующей по величине называется ее продвижением. Продвинуть цифру 0 значит заменить ее на 1, продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2 и т.д. Таким образом формируются однозначные числа натурального ряда любой системы счисления. Продвижение старшей цифры алфавита системы означает замену её на 0, поэтому первое двузначное число всегда 10 (так как число 0 впереди не является значащей цифрой и обычно не пишется), а далее следуют все двузначные числа, начинающиеся с единицы с другими цифрами алфавита; затем двузначные числа, начинающиеся с двойки и т.д. Следуя этому принципу формируется натуральный ряд чисел.

Натуральный ряд чисел в разных системах счисления Название системыНатуральный ряд двоичная0,1,10,11,100,101,110,111, 1000,1001,1010,1011,1100… троичная0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,110,111,112,120,121,122,200,201,… восьмеричная0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15, 16,17,20,21,22,23,24,25,26,27,30,…100 десятичная0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20, 21,22,23,24,25,26,…, 100, … шестнадцтеричная0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В, С, D, E, F, 10, 11,12,13,14,15,16,17,18,19, 1А,1В,1С,1D,1F,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,2A, …, 100, …. тридцатишестиричная0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В, С, D, E, F, …, Z, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1А, 1В, 1С, 1D, 1F, …, 1Z, 20, 21, 22, 23, 24, 25,26,27,28,29,2A, … 2Z, …, ZZ, 100, ….

Запись чисел Некоторые числа в разных системах счисления имеют одинаковый вид записи, хотя имеют различные значения. Чтобы распознать в какой системе счисления записано число, введем индексное обозначение чисел в виде а n, где а – само число, n – индекс системы счисления, записанный всегда десятичным числом. Например: 11 2 ; 11 8 ; ; Обычно запись десятичных чисел не индексируется.

Чтение чисел В десятичной системе можно прочитать запись 36 – как число «тридцать шесть», запись 101 – как число «сто один» и т.д. Но в других системах на до говорить так: запись это число «три- шесть» в восьмеричной системе счисления, запись – число «один – ноль- один» в двоичной системе счисления. Упражнение. Прочитайте числа ; АВ 12 ; ВЕE 16 ; 1295; 13 4 ; DAC 16 ; ВILL 36 ; QUKAREKU 36

Разряды чисел Читая число в десятичной системе счисления, например, «тридцать шесть» - мы не просто произносим некий термин, а говорим о вполне определенных свойствах этого числа; «тридцать шесть» - это термин составной, означающий «три раза по десять и шесть». Здесь видно что десять – это коллективная единица. Действительно, в десятичной системе счисления люди привыкли считать десятками, сотнями, тысячами и т.д., формирую тем самым разряд числа. Каждый разряд в десятичной системе счисления – это число 10 с целым показателем: разряд единиц,10 1 – разряд десятков, 10 2 – разряд сотен и т.д. Соответственно в противоположную сторону, – разряд десятых, – разряд сотых и т. д. Заменив число 10 другим основанием позиционной системы получим базис любой позиционной системы счисления. Разряды в любой позиционной системе счисления будут называться по показателю степени: n-ый, второй, первый, нулевой, минус первый, минус второй и т.д.

Определение Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задаётся степенью основания с целым показателем, имея значение цифры «по месту» каждого разряда.

Базисы некоторых систем Название системыБазис системы в виде степени Базис системы в «разрядах» Двоичная1,2,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8,…1,2,4,8,16,32,64,128,256, 512,1024 Троичная1,3,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 7,3 8,…1,3,9,27,81,273,… Восьмеричная1,8,8 2,8 3,8 4,8 5,8 6,8 7,8 8,1,8,64,512… Десятичная1,10,10 2,10 3,10 4,10 5,…1,10,100,1000,10000,… Шестнадцатеричная1,16,16 2,16 3,16 4,16 5,…1,16,256,… Тридцатишестиричная1,36,36 2,36 3,…1,36,1296,46656,…

Развёрнутая форма записи числа -это сумма последовательных произведений цифр самого числа на базис системы счисления. Например: 245,39=2* * * * * ,11 2 =1*2 4 +0*2 3 +1* * *2 0 +1* *2 -2 3АВ2 16 = 3*16 3 +А*16 2 +В* *16 0