C5 к ЕГЭ Автор: Салпанова Наталья Леонидовна, учитель математики МБОУ «СОШ 22» г. Анжеро-Судженск Кемеровской области Графический подход решения В мире проблем ! Решение труднейших задач ЕГЭ по математике

Пользоваться определением модуля |x| = x, если х 0 – x, если х ˂ 0 |x|< а -а < x < а|x|> а x а А так же y = kx + b – линейная,прямая y = аx² + bх + с – квадратная,парабола *направление ветвей *пересечение с ОХ *х = -b/2a – абсцисса вершины – ось симметрии надо иметь, хотя бы, 2 точки x² + y² = R² – окружность,Центр (0;0), R - радиус (x-а)² + (y-b)² = R² – окружность,Центр (a; b), R - радиус Знать и строить: уравнение, линию, алгоритм построения: ПАМЯТКА y = f(x) график y = |f(x)| график y = - гипербола k > 0 линии выше ОХ точки оси ОХ оставляем линии ниже ОХсимметрично в верхнюю полуплоскость *выделять полный квадрат 2

Преобразованияграфика y = Ikf(m x + c) + bI y = Ikf(m ( x + a)) + bI 1. y = f( х ) 2. y = f(m х ) 3. y = f(m( х + a) 4. y = kf(m( х + a)) 5. y = kf(m( х + a)) + b 6. y = kf(m( I х I + a)) + b m = ¹ растянуть в 3 раза вдоль оси ОХ а, если m = -2 ? a = сдвинуть на 2 вправо - - исходная по точкам а, если a = 2 ? k = 2 растянуть в 2 раза вдоль оси ОY а, если k = -¹ ? Контрольный вопрос Как построить график … b = -2 сдвинуть на 2 вниз а, если b = ¹ ? ? сжать и (-) влево сжать и (-) вверх Линия при Х 0 и симметричная ей при Х 0 относительно оси ОУ 3

Задача: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение: |x + 2y + 1| 11 (x - a) 2 + (y - 2a) 2 = 2 + a - 11 x + 2y x + 2y x + 2y y - 0,5x + 5 y - 0,5x Касание полосы C5. Графический подход строим полоса окружность R² = 2 + a Центр С(а; 2а) y = 2x 1 2 C C и окружности C P K Решение: Точка касания ? y = 2x ! ! 4

С случай ( )Р Решение: y = - 0,5x + 5 y = 2x ( )Р (2; 4) (x - a) 2 + (y - 2a) 2 = 2 + a лежит на окружности (2 - a) 2 + (4 - 2a) 2 = 2 + a подставим а = 3а = 1,2 2 + a 0 случай ( ) К y = - 0,5x 6 y = 2x ( ) К (-2,4; -4,8) (-2,4 - a) 2 + (-4,8 - 2a) 2 = 2 + a 5a a + 28,4 = 0 D < 0 ø Ответ: а = 3а = 1,2 аналогично 5

Найти все значения параметра a, при которых система уравнений 3|x - 2| + |y| = 3 имеет ровно ax - y + 2a + 2 = 0 ДВА решения. 3|x - 2| + |y| = 3 3(-x + 2) - y = 3 3(-x + 2) + y = 3 3(x - 2) + y = 3 3(x - 2) - y = 3 y = -3х + 3 y = 3x - 3 y = -3х + 9 y = 3x - 9 По определению модуля: строим ax - y + 2a + 2 = 0 2-е уравнение: Выразим у у = -ах - 2а прямая Ø 2 решения: 2 у -3

С5.Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. По определению модуля: |x| – 9 = x – 9, если х 0, – x – 9, если х ˂ 0, Заметим: х ² = ( – х) ² = ( –1 х) ² = ( –1) ² х ² = х²х² (– x – 9) ² = (-(х+9))² (х+9)² (х – 9)² + (у – 5)² = 9 х 0 центры (9; 5)(-9; 5) R = 3 =( –1)² = (х+9)² (- х – 9)² + (у – 5)² = 9 (х + 9)² + (у – 5)² = 9 х ˂ 0 График уравнения - совокупность двух окружностей. 7

Ох у B R=3R=3 5 А R=3R= График 1-го уравнения системы: (х – 9)² + (у – 5)² = 9(х + 9)² + (у – 5)² = 9 Центр (-9; 5) Центр (9; 5) Первые уравнения системы: АВ С Ох у 1 первый ответ: BC²= 61 Второе уравнение окружностьЦентр (-3;0) Радиус R=а 3 МЕНЯЕТСЯ единственная Второй случай АС =13 8

При каких значениях параметра a система уравнений имеет единственное решение? x+30y+30y+3˂0 x-3y-3y˂-3 x+3+y+3=7 y=-x+1 x+3-y-3=7 y=x-7 x+3˂0 x˂-3 -x-3 +y+3=7 y=x+7 y+30 y-3 y+3˂0 y˂-3 -x-3-y-3=7 y=-x K O x²x²+12x y²- 4y+ 4- 4= 5a (x + 6)² +(y - 2)²= 5a + 3 окружность Центр (-6; 2) Радиус R= 5а+3 меняется K- точка касания = OK A B (-5;2) (-6;1) лежат на прямой прямоугольный, равнобедренный ОАК R² + R²= 1, a = -¹ 9

ЕГЭ Кузбасс Найти значения а, при которых уравнение 2 х+1 = a|x-5|на [0; + ) имеет более двух корней. f(x) g(x) Корни - абсциссы точек пересечения 3 0,5 f(x)= 2 х+1 гипербола на [0; + ] y = x y = |x-5| 5 g(x) =a|x-5| при х = 0 а = ² 3 корня величина «УГОЛКА» модуля зависит от а 2 корня левый луч «УГОЛКА» касается гиперболы 2 1 корень2 корня Определим точку касания Должны выполняться условия: f(x) = g(x) f (x) = g (x) 2 х+1 = a(5-x) – левый луч -2 (х+1)² = - a 2 х+1 2(5-x) (х+1)² = 2 х+1 |1= 5-x х+1 х = 2 в точке касания а= ² (2 корня) Ответ:лучи «УГОЛКА» а Є(²; ²] a(5-x)a(x-5) 10

Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 4x² + 4ax + a² - 2a +2 на множестве 1 |x| 3 не меньше По определению модуля: |x| = х 0, х ˂ 0, 1 х 3 1 – х 3, -3 х -1 Выделим полный квадрат: f(x) = (2x+a)² -2a+2 f(x) = 4(x+¹ a )² -2a+2 исходнаяy = 4x² 0 4 х =-¹ а у = -2а+2 вершина решение зависит от положения параболы //////////////// 6 Исследуем: -¹ а -3 f(-3) 6 -3-¹ а -1 f(-¹a) 6 -1-¹ а 1 f(-1) 6 f( 1) 6 1-¹ а3 f(-¹a) 6 -¹ а3 f(3) 6 для сверки (;-2]U{0}U[7+17;+) ответ 1

f(x) = 4x² + 4ax + a² - 2a +2 f(-¹a) = -2a + 2 f(-3) = a² - 14a + 38 f(3) = a² + 10a + 38 f(-1) = a² - 6a + 6 f(1) = a² + 2a + 6 а-6 a² - 14a а 62а 6 а а 2 a² - 6a 0 a² + 2a 0 -6 а -2 а -2 а -6 a² + 10a Для сверки: 1212

При каких a уравнение |x² -2x -3| -2a = |x – a| -1 имеет ровно три корня? |x² -2x -3| = |x – a|+ 2a - 1 y = |x² -2x -3| y = |x – a|+ 2a Нули yвершина -4 модуль 4 ось «линейная» Пусть а = 0 y = |x| - 1- «угол» y=-x, х˂0 y=x, х0 y= -x+a+2a-1 y= x-a+2a-1 y = -x+ 3a -1 х = а (0; -1) и (2;3) К К- точка касания у = 2х-1 по ней двигаем Очевидно, а = 0 у = k - касательной -2x + 2 = x = 1,5 у = у = 3,75 y= -x +a+2a -1 3,75 = -1,5 + 3а -1 а = ² прямая - её координаты у =(-х²-2х-3) y = x² -2x -3 y = -x² +2x +3 или (-1;0) 1313

C5. Лучи «уголка» касаются окружности Найдите все значения а, при каждом из которых система (x - 4) 2 + (y - 6) 2 = 25, y = |x - a| + 1. имеет ровно три различных решения. (1)(1) Окружностьс центром R = 5 С(4; 6), 4 6 С (2)(2) (2)(2) б) y = Iх - аI Перемещение «уголка» вдоль ОХ б) y = Iх – аI + 1 по прямой у = 1 1 Возможные случаи для трёх решений Правый луч «уголка касается окр-ти левый луч - пересекает случай a) y = IxI картинка t t k k A Координаты А (4+k ; 1 ) продолжим Подставив в (1) k Подставив k в (2) а (1)(1) случай Решение В k k t t В (4-k ; 1 )

А (4+k ; 1 ) в уравнение (x - 4) 2 + (y - 6) 2 = 25 (1) продолжим (k ) ² + (- 5 ) ² =25,k ² + k ² 2 + 0,5k ² k 2 + 0,5k ² = 25 2k ² + k ² 2- 5k 2 = 0 K(2k + k ) = 0 K = 0 Случай C (4; 1) 2k + k 2= 5 2 K = K = А y = |x - a| + 1 (2) y = x - a + 1 – правый луч «уголка» 1 =4+k - а + 1 а = 4 + k а =а = = 4 - a + 1 а = 4 В (4-k ; 1 ) - y = |x - a| + 1 (2) y = - x + a + 1 – левый луч «уголка» аналогично а =а = Ответ: 1515

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение на промежутке [0; + ) имеет более двух корней. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение на промежутке [0;+ ) имеет ровно два корня. a|x – 4| = 5 x + 1 (y+2x)(2y+x) 0, (x – a) ² + ( y – a) ² = |a + 1| 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно два решения Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре решения. Ответ: ; ;.

y=-2x y=-¹x y = x х² + (у-3)² = а²О(0; 3), R = a Увидели окружность ? Указания ГРАФИЧЕСКИЕ: ромб вписана y=Ix - 4I (1) y=a|x-4) 2 модуль например [0; +)

Шаблон страница записной книжки Задания вариантов ЕГЭ Авторский подход к решению заданий С5 Используемые ресурсы: