Задачи по геометрии (курс планиметрии)

Гимн математике Уравнения решать, радикалы вычислять – Интересная у алгебры задача! Интегралы добывать, Дробь делить и умножать Постараешься - придет к тебе удача! Геометрия нужна, но она ведь так сложна! То фигура, то тела - не разберешься. Аксиомы там нужны, Теоремы так важны, Их учи - и результата ты добьешься! Все науки хороши Для развития души. Их и сами все вы знаете, конечно, Для развития ума математика нужна, Это было, это будет, это вечно.

Задача 1 Стороны треугольника 27 см и 29 см. медиана, проведенная к третьей стороне равна 26 см. Найдите площадь данного треугольника.

В Дано: АВС, АВ= 27 см; 29 ВС=29 см; 27 АО=ОС, ВО=26 см. Найти: S ABC Решение. Продолжим медиану ВО на её длину, ВО=ОМ=26 см получим параллелограмм АВСМ. А ОС 26

В А О С М ABC = ABO+ BOC; ABM = ABO+ AOМ;

=2752=270 AOM= BOC (по двум сторонам и углу между ними) S ABM = S AВМ =270 CM 2 ответ: S AВМ =270 CM 2 А В С М О

Задача 2 В треугольнике АВС С=90 0, медианы СМ и АN взаимно перпендикулярны. Определите косинус угла В.

Дано : АВС - прямоугольный, АN, СМ- медианы, AN CM Найти: cos B. Решение. Соединим точки M и N, MN- средняя линия MN BC. А С В М N О

, пусть МВ= х, тогда МС= х (свойство медианы прямоугольного треугольника). MCN; СON - прямоугольные,.,,, BN=CN, Ответ :

Задача 3 Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют.

Дано: АВСD – трапеция, B C ВС= 4, АD =16. Найти: r, R. A E K D Решение. Описать окружность около трапеции можно только при условии, что трапеция является

равнобедренной т.е. АВ=СD и выполняется равенство AB + CD = BC + AD. В трапеции ABCD ВЕ и СК высоты. По условию ВС= 4, АD = 16. тогда

Из чертежа видно, что ВЕ=2r =8, откуда радиус вписанной окружности r = 4. Найдем площадь S треугольника ABD: По формуле радиуса окружности, описанной около треугольника ABD: ответ: r = 4 ;

Радиус окружности, описанной около треугольника ABD, и есть радиус окружности, описанной около трапеции ABCD. B C A E K D

Задача 4 В параллелограмме угол между высотами равен. Найдите высоты и площадь параллелограмма, если его стороны равны b и c.

b Дано: ABCD- параллелограмм BK CD; BE AE; c EBK= ; BC=b; AB=c. Найти: ВК, ВЕ, S ABCD Решение. Сумма внутренних углов четырехугольника BKDE равна Следовательно, = ЕDK, откуда ЕDK = –, т.е. ADC = –. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелогра- ма, равна 180 0, т.е. BAD + ADC = 180 0, откуда BC A ED K

BAD = –(180 0 – ) =. Следовательно, и BCD =. Из прямоугольного треугольника АВЕ находим:, Из прямоугольного треугольника ВСК находим ВК:,. Площадь параллелограмма. Ответ:

Задача 5 В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см. Bычислите площадь треугольника.

Дано: АВС, С=90 0, АК=КВ, СM=MВ, КM СВ, MN AB, КM=5см, MN=4см. Найти: S ABC. Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник KMN. По условию: КМ=5 см, MN= 4см, по теореме Пифагора находим KN= 3см. Рассмотрим прямоугольный треугольник KMB, MN высота, проведенная из вершины прямого угла и является средним пропорциональным для отрезков, А С В К М N

на которые делится гипотенуза этой высотой, т.е. KN 2 = KNNB, NB= x, 4 2 = 3x,, АВ =.. КМ =5 см, средняя линия треугольника АВС, значит АВ =10 см. по теореме Пифагора ВС 2 =, ВС=. Площадь треугольника АВС:,. ответ:.

Задача 6 Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки А(-1; 1) и В(1; 0) и постройте её график. у х

Решение. Любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ax+by+c=0, где a и b не могут быть одновременно равны нулю. Точки А и В лежат на прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставляя в уравнение координаты точек А и В последовательно, получим систему :

. выразим из этих уравнений a и b через с, получим a= – c, b= –2c. Подставим эти значения в уравнение прямой и получим –cx –2cy + c = 0. После сокращения на с 0 получим уравнение –x – 2y+1 = 0. Это уравнение и есть уравнение прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Построение графика х 01 у 0,50 х у 0 1 -х- 2у +1 = 0

Домашнее задание. Задача. В равнобокой трапеции большее основание равно 3,7; а боковая сторона равна 1,5 угол между ними равен Найдите среднюю линию трапеции.