У РОК АЛГЕБРЫ. 11 КЛАСС. П РОИЗВОДНАЯ. П РИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ( МОДУЛЬНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ) Воронина Лариса Юрьевна, учитель математики, МОУ «Ламенская СОШ». Россия, Тюменская область, Голышмановский район, посёлок Ламенский.

Ц ЕЛИ УРОКА : Образовательная: систематизировать и закрепить знания, умения и навыки по теме «Производная. Применение производной к исследованию функций». Развивающая: развитие навыков самооценки и самоконтроля. Воспитательная: воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов, уважительного отношения друг к другу.

Тип урока: контрольно-обобщающий Вид: урок с применением технологии модульного обучения Оборудование урока: печатные материалы модулей, распечатки с тестами, карточки с заданиями «Лабораторно-графической работы», билеты к зачёту, оценочный лист.

Ц ЕЛИ И ЗАДАЧИ МОДУЛЯ. И НТЕГРИРУЮЩАЯ ЦЕЛЬ : В ПРОЦЕССЕ РАБОТЫ НАД УЧЕБНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ВЫ ДОЛЖНЫ : определение производной; формулы производных; простейшие правила вычисления производных; определение углового коэффициента касательной, уравнение касательной к графику функции; общую схему исследования функции; метод, показывающий получение результатов по вопросам нахождения промежутков возрастания (убывания) и экстремумов; правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке (интервале); o находить производные функций; o применять правила дифференцирования при решении задач; o записывать уравнение касательной к графику функции в заданной точке; o находить промежутки возрастания (убывания) функции; o находить экстремумы функций по графику; o проводить исследование функции и строить их графики; o применять правила нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке (интервале); Знать: Уметь:

У СЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ В «М ОДУЛЕ »: УЭ – учебный элемент УЭ – 1. Производная. Таблица производных. (Математический диктант). УЭ – 2. Правила дифференцирования. (Тест). УЭ – 3. Геометрический смысл производной. (Самостоятельная работа обучающего характера). УЭ – 4. Применение производной к построению графиков функций. (Работа с учебником, лабораторно-графическая работа). УЭ – 5. Наибольшее и наименьшее значения функций. (Тест). УЭ – 6. Итоговый. (Зачёт). Учащимся выдаются печатные материалы с заданиями и оценочный лист. Результаты практической части выставляются в оценочный лист. Фамилия _____________________ Имя ____________ Учебный элемент УЭ – 1УЭ – 2УЭ – 3УЭ – 4УЭ – 5УЭ – 6 Оценка

УЭ – 1. П РОИЗВОДНАЯ. Т АБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. З НАТЬ : ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ, ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ, ПРОСТЕЙШИЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ. У МЕТЬ : ИСПОЛЬЗОВАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ НАХОЖДЕНИИ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ. Теоретическая часть. 1) Пусть функция f (x) определена на некотором промежутке. Х – точка этого промежутка и число h 0 такое, что x + h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения при h 0 называется производной функции f (x) в точке х (если предел существует): 2) Если функция f (x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f (x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция имеет производную на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием. 3) Производная постоянной равна 0: С / =0. Производная линейной функции ( kx + b) / = k. Формула производной степенной функции для любого действительного показателя: ( x p ) / = px p-1 ; ((kx+b) p ) / =pk(kx+b) p-1 / Примеры: (х 2 ) / = 2х; (х 3 ) / = 3х 2 ; (х –1 ) / = - х –2 = -

После изучения теоретической части ответьте на вопросы (ответы учащихся на вопросы оцениваются): Сформулируйте определение производной через предел. Какая функция называется дифференцируемой? Когда функция имеет производную на промежутке? Как называется операция нахождения производной? Практическая часть. Диктант (оцени сам себя!): (оцени сам себя!): Чему равна производная функции у = кх + с. Чему равна производная функции у = х. Чему равна производная функции у = с. Чему равна производная функции у = -х+4. Продифференцируйте функцию у = 6 – 7х. Продифференцируйте функцию у = - х. Продифференцируйте функцию у =.

УЭ – 2. П РАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. З НАТЬ : ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО. У МЕТЬ : НАХОДИТЬ ПРОИЗВОДНЫЕ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ; НАХОДИТЬ ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ. Теоретическая часть. 1) Производная суммы равна сумме производных: ( f(x) + g(x)) / = f / (x) + g / (x) 2) Постоянный множитель можно вынести за знак производной: ( c f(x)) / = c ( f(x)) /. 3) Производная произведения: 4) Производная частного:

П РАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. И СПОЛЬЗУЯ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ, ВЫПОЛНИТЬ ТЕСТ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАПИСАТЬ В ТАБЛИЦУ : Тест (проверь по таблице).проверь по таблице 1. Найдите производную функции: А) ; Б) ; В) ; Г). 2. Формула нахождения производной произведения двух функций имеет вид: А) ; Б) ; В) ; Г). 3. Для какой из функций производная задаётся формулой ? А) ; Б) ; В) ; Г). 4. Вычислить значение производной функции у = 2 х в точке х 0 = 2. А) 4; Б) ln2; В) 2 ln2; Г) 4 ln2; 5. При каких значениях х производная функции y = log 0.3 x принимает положительные значения А) x > 0; Б) ; В) x < 0; Г) ни при каких А Б В Г

УЭ – 3. Г ЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. З НАТЬ : НАГЛЯДНЫЕ ОБРАЗЫ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ, МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОГО КОЭФФИЦИЕНТА КАСАТЕЛЬНОЙ, УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ. У МЕТЬ : СРАВНИВАТЬ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ, ЗАПИСЫВАТЬ УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ. Теоретическая часть. у = кх + в – линейная функция. Графиком является прямая. Число к называют угловым коэффициентом прямой. k = tg α, где α – угол между этой прямой и осью Ох. уу = кх + в α х k > 0. tg α > 0, следовательно, 0< α

2) Рассмотрим график функции у = f (x) у А α В х Прямая АВ – касательная к графику функции у = f (x) в точке А. Значит, f / (x)= tg α; f / (x) = к; к = tg α. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. 3) - уравнение касательной к графику дифференцируемой функции у = f (x) в точке (х 0 ; f (x 0 )). Практическая часть. Выполнить самостоятельную работу обучающего характера (оцени сам себя).оцени сам себя 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в его точке с абсциссой х = Дана функция. Найдите координаты точек её графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс. 3. Для функции у = х найти точки, в которых угловой коэффициент касательной равен 4.

УЭ – 4. П РИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ. З НАТЬ : ОБЩУЮ СХЕМУ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ НА ЗАДАННОМ ПРОМЕЖУТКЕ, МЕТОД, ПОКАЗЫВАЮЩИЙ ПОЛУЧЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ВОПРОСАМ НАХОЖДЕНИЯ ПРОМЕЖУТКОВ ВОЗРАСТАНИЯ ( УБЫВАНИЯ ) И ЭКСТРЕМУМОВ. У МЕТЬ : ПРОВОДИТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И СТРОИТЬ ИХ ГРАФИКИ. Теоретическая часть. Функция непрерывна на отрезке, если график функции представляет собой непрерывную линию. у у = f (x) 0 а в х Если функция имеет производную на некотором промежутке, то она непрерывна на этом промежутке. Построение графика функции с помощью производной. Алгоритм исследования функции: область определения функции; производная; стационарные точки; промежутки возрастания и убывания; точки экстремума и значения функции в этих точках; результаты исследования записывают в таблицу. Для более точного построения графика находят точки его пересечения с осями координат и, быть может, ещё несколько точек графика.

Р АБОТА С УЧЕБНИКОМ Повторить. Как найти промежутки возрастания (убывания) функции с помощью производной? Повторить необходимый признак экстремума и достаточный признак максимума и минимума. Повторить. Как найти экстремумы функции?

П РАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. Выполнить лабораторно-графическую работу (оценит учитель). Цель работы: закрепить навыки построения и чтения графиков, умение применять производную к исследованию функций. Задание. ( при выполнении данной работы учащимся предлагаются карточки с различными вариантами числовых данных) Для функции найдите: а) область определения; б) производную; в) критические (стационарные) точки; г) промежутки монотонности и экстремумы. д) постройте её график.

О БРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. Оформление работы учеником. а) ; б) в) критические точки: - ; 1. г) по результатам исследования составляем таблицу: Карточка 1. х -31 у / (х)+0–0+ у(х) - экстремум maxmin д) строим график функции: 1 3 х у

УЭ – 5. Н АИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ. З НАТЬ : ТЕОРЕМУ В ЕЙЕРШТРАССА ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ, СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО ( НАИМЕНЬШЕГО ) ЗНАЧЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ИНТЕРВАЛЕ. У МЕТЬ : ПРИМЕНЯТЬ ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО ( НАИМЕНЬШЕГО ) ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ ( ИНТЕРВАЛЕ ). Теоретическая часть. Теорема Вейерштрасса: Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Если функция f (x) непрерывна на и имеет на этом отрезке конечное число стационарных точек, то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке нужно: найти значения функции на концах отрезка, т. е. f (а) и f (в) ; найти значения функции в тех стационарных точках, которые принадлежат интервалу ; из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

П РАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. И СПОЛЬЗУЯ АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ, ВЫПОЛНИТЬ ТЕСТ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАПИСАТЬ В ТАБЛИЦУ ( ТЕТРАДЬ ). Т ЕСТ ( ПРОВЕРЬ ПО ТАБЛИЦЕ ). ( ПРОВЕРЬ ПО ТАБЛИЦЕ ). 1. Функция задана своим графиком. Укажите наибольшее и наименьшее значения функции. А) 4 и -2 Б) 3 и -2 В) 4 и -1 Г) 2 и Найдите наибольшее значение функции f (x) = 5 – х 2 на отрезке А) - 11; Б) 8; В) 4; Г) Найдите наименьшее значение функции f (x) = 3 sin x на отрезке А) 0; Б) - 3; В) - 1; Г) такого значения нет. 4. Число 15 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на другое было наибольшим. А) 10 и 5; Б) 7 и 8; В) 9 и 6; Г) 13 и 2.

УЭ – 6. И ТОГОВЫЙ. Ц ЕЛЬ : ПРОВЕРИТЬ ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И НАВЫКИ, ПОЛУЧЕННЫЕ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «П РОИЗВОДНАЯ. П РИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ». Зачёт (оценит учитель): Зачёт 1вопрос: Теоретический 2 вопрос: Практический

УЭ-1 1) К 2) 1 3) 0 4) -1 5) -7 6) -1 7) А+ Б+ В+ Г + + УЭ-2 УЭ-3 1)К = 14 2)(0 ; 1) 3)(2 ; 8) 1234 А+ Б++ В Г+ УЭ-5

карточкиmnp

З АЧЁТ Билет Понятие производной, её механический смысл. 2. Исследовать на возрастание и убывание функцию Билет Понятие производной, её геометрический смысл. 2. Найдите экстремумы функции Билет Производная степенной функции. 2. Используя данные о производной функции y = f / (x) (см. таблицу), указать промежутки возрастания и убывания функции y = f (x). Билет Правила дифференцирования. 2. Исследовать функцию у = 2х – х 2 на возрастание, убывание и экстремумы. Билет Понятие о промежутках монотонности функции. 2. Найти производную функции. х(- ; -3)-3(-3; 6)6(6; + ) f / (x)+0-0+ o Билет Понятие экстремума функции. 2. Вычислите значение производной функции f (x) = 2х – х 3, в точке х 0 = - 2. o Билет Понятие о точках максимума (минимума) функции. Графическая иллюстрация. 2. Найти производную функции f (x) = 2х 3 – х o Билет Правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения функций. 2. Найдите производную функции f (x)=х 2 + 3х + 1. o Билет Определение элементарных функций. Таблица производных элементарных функций. 2. Исследовать знаки значений функции методом интервалов: у = х 2 - 2х. o Билет Вывод уравнения касательной к графику функции у = f (x) в точке ( х 0 ; f (x 0 )). 2. Найдите значение х, при которых производная функции равна нулю: f (x) = х 3 – 3х + 2.