Обобщающий урок на тему: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций» Задачи урока: Выработать специфические умения и навыки по работе. - презентация

1 Обобщающий урок на тему: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций» Задачи урока: Выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ; Формировать умения читать свойства функции по графику её производной Подготовиться к контрольной работе

2 Автор разработки урока Кириллова Ирина Анатольевна – учитель математики МОБУ «Ново- Сережкинская СОШ» Стаж работы: 28 лет Образование: высшее Квалификационная категория: первая

3 План урока 1.Актуализация опорных знаний (АОЗ) 2.Отработка знаний, умений, навыков по теме 3.Тестирование (Задание В8) 4.Взаимопроверка, выставление оценок «соседу» 5.Подведение итогов урока

4 Актуализация опорных знаний прП 1.Определение производной

5 Актуализация опорных знаний Геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке. 2.Геометрический смысл производной

6 Актуализация опорных знаний 3.Связь между значениями производной, угловым коэффициентом касательной, углом между касательной и положительным направлением оси ОХ Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс. Если производная положительна, то угловой коэффициент -положителен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – острый. Если производная отрицательна, то угловой коэффициент -отрицателен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – тупой. Если производная равна нулю, то угловой коэффициент равен нулю, тогда касательная параллельна оси ОХ

7 Актуализация опорных знаний Достаточные признаки монотонности функции. Если f ( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастае т на этом интервале. Если f ( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) убывает на этом интервале. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак. 4. Применение производной для определения промежутков монотонности функции

8 Актуализация опорных знаний Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум, рис.5а,б). В точках x 1, x 2 ( рис.5a ) и x 3 ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x 1, x 2 ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума. 5. Применение производной для определения критических точек, точек экстремума

9 Актуализация опорных знаний Необходимое условие экстремума. Если x 0 - точка экстремума функции f(x) и производная f существует в этой точке, то f(x 0 )=0. Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f ( x ) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке С другой стороны, функция y = | x | имеет минимум в точке x = 0, но в этой точке производная не существует. Достаточные условия экстремума. Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с плюса на минус, то x 0 - точка максимума. Если производная при переходе через точку x 0 меняет св ой знак с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума. 6. Необходимые и достаточные условия экстремума

10 Актуализация опорных знаний Наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) могут достигаться как во внутренних точках отрезка [а; в], так и на его концах. Если эти значения достигаются во внутренних точках отрезка, то эти точки являются точками экстремума. Поэтому надо найти значения функции в точках экстремума из отрезка [а; в], на концах отрезка и сравнить их. 7. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

11 1. Отработка знаний, умений и навыков по теме По следующим данным, приведённым в таблице, охарактеризуйте поведение функции. Шпаргалка для практической работы х(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

12 Характеристика поведения функции 1.ОДЗ: х принадлежит промежутку от -3 до +; 2.Возрастает на промежутках (-3;0) и (8;+); 3.Убывает на промежутках (0;8); 4.Х=0 – точка максимума; 5.Х=4 – точка перегиба; 6.Х=8 – точка минимума; 7.f(0) =-3; f(0) =-5; f(0) = 8;

13 2. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция у=f(х) определена на промежутке [-5; 6]. График ее производной её производной изображен на рисунке. Укажите число её точек максимума на промежутке [-5; 6 ] Ответ: 3.

14 3. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция у=f(х) определена на промежутке [-4; 8].. График ее производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков возрастания функции. Ответ: 3.

15 4. Отработка знаний, умений и навыков по теме Ответ: Функция у=f(х) определена на промежутке (-5;7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите промежутки убывания функции у=f(х). В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков. Ответ: 4.

16 5. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6]. Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции по графику производной y = f'(x) Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

17 Список вопросов (откорректированных) 1) количество промежутков возрастания функции y = f(x); 2) длину промежутка убывания функции y = f(x); 3) количество точек экстремума функции y = f(x); 4) точку максимума функции y = f(x); 5) критическую (стационарную) точку функции y = f(x), которая не является точкой экстремума; 6) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [0; 4]; 7) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [–2; 2]; 8) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная перпендикулярна оси OУ; 9) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси OХ угол 60°; 10) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой угловой коэффициент Ответ: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.

18 Тестирование (В8 из ЕГЭ) 1.Задания теста представлены на слайдах. 2.В таблицу заносите ответы. 3.После завершения теста меняетесь бланками с ответами, проверяете работу соседа по готовым результатам; оцениваете. 4.Проблемные задания рассматриваем и обсуждаем вместе.

19 На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х 0 1)-2 2) 1,5 3) 3 4) 0 Рис а Рис б У=f(х)

20 В какой из указанных точек производная функции, график которой изображен на рисунке, отрицательна? 1) 2) 3) 4) У=f(х)

21 Найти точку Х 0, в которой функция принимает наименьшее значение Найти точку Х 0, в которой функция принимает наибольшее значение

22 К графику функции у =f( x) в его точке с абсциссой x 0 =2 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной данной функции. Функция у=f(х) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график производной этой функции. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные параллельны оси абсцисс. 1

23 Функция определена на промежутке (-5;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, в которых касательные наклонены под углом 135 ° к положительному направлению оси абсцисс. Функция определена на промежутке (-6;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, которых касательные наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс.

24 Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков возрастания функции у = f(х)на отрезке [-6;6]. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек максимума функции у = f(х)на отрезке [-5;5].

25 Функция у = f(х) определена на отрезке [a;b]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции у =f(х)на отрезке [a;b]. Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков убывания функции у=f(х)на отрезке [-6;6]. ab

26 Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки возрастания функции у = f(х) на отрезке [-6;6]. В ответе укажите наименьшую из длин этих промежутков. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки убывания функции у = f(х) на отрезке [-5;5]. В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.

27 Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X, в которых функция имеет максимум. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X, в которых функция имеет минимум.

28 Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = 5, если f(6) = 8 Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = - 3, если f(- 5) = 0

29 Функция у = f(х) определена на промежутке (-6,6).На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку минимума функции. Функция у = f(х) определена на промежутке (-6,7).На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку максимума функции.

30 ,

31 Решение задания 19 Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = 5, если f(6) = 8 Для х 3 f (x) =k=3, следовательно на данном промежутке касательная задана формулой у=3х+b. Значение функции в точке касания совпадает со значением касательной. По условию f(6) = 8 8=3·6 + b b = -10 f(5) =3·5 -10 = 5 Ответ: 5

32 Подведение итогов урока Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ.

33 Домашняя работа: задача, связанная с чтением одного и того же графика, но в одном случае это график функции, а в другом график ее производной. Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 5]. На рисунке приведен: а) график функции y = f(x); б) график производной y = f'(x). По графику определите: 1) точки минимума функции y = f(x); 2) количество промежутков убывания функции y = f(x); 3) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой она принимает наибольшее значение на отрезке [2; 4]; 4) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси OХ (или совпадает с ней).

34 Литература 1.Учебник Алгебра и начала анализа 11 класс. С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.. Москва. «Просвещение» ЕГЭ Математика. Типовые тестовые задания. 3.Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике. Выпускной, вступительный, ЕГЭ на +5. М. «ВАКО» Интернет-ресурсы.