Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств Разработала учитель математики МБОУ «СОШ 38» г.Чебоксары Карасёва Вера Васильевна.

Цель – обучение учащихся решению нестандартных уравнений и неравенств за счет глубокого понимания теоретических основ, применяемых в математике. Задачи, решаемые в процессе обучения: развить нестандартное мышление учащихся; сформировать умение строить математические модели; отработать навыки прохождения тестирования при подготовке к ЕГЭ (решение задач повышенной сложности); повысить интерес к математике; привить уверенность учащимся при решении задач

Метод мажорант (метод оценки ограниченности функций). Методом мажорант решаются уравнения вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) функции совершенно разного вида. Итак, если на некотором промежутке Р наибольшее значение функции y=f(x) равно M, а наименьшее значение функции y=g(x) равно M, то уравнение f(x)=g(x)

Решите уравнение: Решение. ОДЗ: Оценим левую часть уравнения : Оценим правую часть уравнения: Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3. Решая второе уравнение, получаем х=0. Ответ: х=0

Задания для самостоятельной работы

Решить неравенство

Использование монотонности функций Теоремы о монотонности функций, их связь с решением уравнения. Алгоритм решения с помощью метода монотонности. Если y=f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c имеет не более одного корня Пусть функция y=f(x) возрастает на промежутке М, а функция y=g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке М не более одного корня. Пусть область определения функции f(t) есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение равносильно системе:

Решите уравнение : Функция возрастающая (как сумма двух возрастающих функций). В правой части – постоянная, то по теореме о корне данное уравнение имеет не более одного корня. Методом подбора найдем корень уравнения, он равен 2 Ответ. Х=2 Решите неравенство:

Задания для самостоятельной работы

Использование области определения функций Рассматривается метод, когда при решении уравнения или неравенства выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел. Этот метод наиболее результативен при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят обратно тригонометрические, логарифмические и иррациональные функции.

Правила решения уравнений и неравенств При решении уравнения или неравенства перенести все члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x). Найти её область определения Д (f). При этом: 1). Если Д (f) – пустое множество, то уравнение или неравенство решений не имеют. 2). Если Д (f) = {а1; а2; а3…..аn}, то действительные решения данного уравнения и неравенства находятся среди чисел а1; а2; а3…..аn. Теперь необходимо проверить, какие из данных чисел являются решениями уравнения или неравенства. 3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли уравнение или неравенство на концах промежутка и в каждом промежутке, причём, если a 0, то необходима проверка на промежутках (а; 0) и [0; в).

Решите уравнение: Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл: Система решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет.

Задания для самостоятельной работы 1. Решите систему неравенств 2.При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 3 корня. 3.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства является отрезком длины меньше Найдите все значения параметра, при каждом из которых график функции пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках. 5. Найдите все значения переменной, при каждом из которых неравенство верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка [3; 6].

Применение производной при решении уравнений и неравенств При решении уравнений или неравенств часто бывает необходимо доказать монотонность (возрастание или убывание) функций, входящих в уравнение или неравенство. Возрастание и убывание функций удобно доказывать с помощью производной. Решите неравенство: Рассмотрим функцию Она определена на всей числовой прямой имеет производную: причем >0, следовательно, возрастает на всей области определения Тогда уравнение имеет не более одного корня. Легко заметить, что таким корнем является число х=0. Т.к. функция непрерывна и возрастающая, то решением исходного неравенства является х.

Задания для самостоятельной работы 1.Найдите все значения, при которых уравнение не имеет корней. 2.Решите уравнение 3. Решите уравнение 4. Решить систему уравнений 5. Доказать, что уравнение имеет единственный корень, лежащий в интервале 6. Доказать, что уравнение имеет единственное решение 7. Решить уравнение.

Тригонометрическая подстановка Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить. Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной х определяются неравенством, то удобны замены или.

Задания для самостоятельной работы 1.Решить уравнение. 2.Выяснить, сколько корней имеет уравнение. 3. Решите уравнение. 4. Решите уравнение. 5. Решите уравнение. 6. Решите уравнение