Алгебра щедра. Зачастую она даёт больше, чем у неё спрашивают. Ж.Даламбер (1717 – 1783) французский математик

Если требуется решить уравнение f (x) = g (x) ( * ) и на общей области определения функций f (x) и g (x) выполняются неравенства f (x) A и g (x) A ( f (x) A и g (x) A ) то уравнение ( *) равносильно системе f (x) = A g (x) = A

Для применения метода мини – максов необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения или неравенства. Приведем перечень часто используемых для оценки базовых неравенств.

1. Неравенство Коши. (Неравенство между средним арифмети- ческим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел). равенство достигается при a=b

Огюсте́н Луи́ Коши́ 21 августа21 августа мая мая1857 французский математик, член Парижской академии наук.

2. равенство достигается при a = b.

3. Оценка суммы двух взаимообратных чисел,если A >0 равенство достигается при A = 1.,если A

4. Оценка однородного линейного тригонометрического многочлена. A 2 + B 2 A sin f(x) + B cos f(x) A 2 + B 2

5. Оценка квадратного трехчлена: если a >0, то равенство достигается при если a

6. Оценка степени с неотрицательным показателем. a |f(x)| 1, если a >1 a |f(x)| 1, если 0 < a

7. Оценка тригонометрических функций. |sin f(x)| 1, т.е. - 1 sin f(x) 1 |cos f(x)| 1, т.е. - 1 cos f(x) 1

Замечание к методу мини-максов. Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод мини-максов, является наличие в одном уравнении или неравенстве функций различной природы: алгебраических, тригонометрических, показательных или логарифмических и т.п., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов. Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственно видом этой части; тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения.

И так, вас ждёт успех. Работа в наслажденье. Старайтесь лучше всех И будет вам везенье.