Иррациональные уравнения Урок алгебры и начал анализа 11 класс Учитель: Вязовченко Н.К. © Vyazovchenko N.K. 2009

Цели урока Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений. Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений. Развивать умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия, развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес. Развивать умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия, развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес. Содействовать формированию мировоззренческих понятий. Содействовать формированию мировоззренческих понятий.

Устная работа

Упростить выражение: Упростить выражение:

Устная работа Решите уравнения: а) б) в) г) д)

Определение Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень. Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Устно: Какие из следующих уравнений являются иррациональными? а) х + х = 2 б) х + х = 0 а) х + х = 2 б) х + х = 0 в) х 7 = 11+ х г) у ² = 4 в) х 7 = 11+ х г) у ² = 4 д) у + у ²+9 = 2 е ) х – 1 = 3 д) у + у ²+9 = 2 е ) х – 1 = 3

Посторонние корни Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень 1. Преобразовать обе части уравнения к виду 2. Возвести обе части в n-ую степень 3. Учитывая, что получаем: 4. Решить полученное уравнение и выполнить проверку (или ОДЗ)

Примеры

Если квадратных корней в иррациональном уравнении много, то приходится возводить в квадрат несколько раз:

Проверка

Метод замены переменной 1. Ввести новую переменную 2. Решить уравнение, отбросить посторонние корни 3. Вернуться к первоначальному неизвестному

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример Пусть тогда исходное уравнение примет вид: У 1 = -7, у 2 = 6

Решая уравнение получим: Ответ: х = 3; х = - 4,5

В некоторых случаях можно сделать вывод о решении иррационального уравнения, не прибегая к преобразованиям. В некоторых случаях можно сделать вывод о решении иррационального уравнения, не прибегая к преобразованиям. Например, уравнения Например, уравнения не имеют решения. не имеют решения.

Метод пристального взгляда Этот метод основан на следующем теоретическом положении: Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение. Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется: Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении. Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении. Записать область определения данной функции. Записать область определения данной функции. Доказать ее монотонность в области определения. Доказать ее монотонность в области определения. Угадать корень уравнения. Угадать корень уравнения. Обосновать, что других корней нет. Обосновать, что других корней нет. Записать ответ. Записать ответ.

Пример 1 Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной х Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного х. Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного х.

Пример 2 Рассмотрим функцию Найдем область определения данной функции: Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при, а далее только возрастать. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению. Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

Решение упражнений 417 (а, б), 417 (а, б), 418 (а, б), 419 (а, б), 419 (а, б), 422 (а, б)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ п (в, г), 417 (в, г), 418 (в, г) 419 (в, г), 419 (в, г), 422 (в, г)