Проект. «Окружность в декартовой системе координат» Над проектом работала Воробьёва Алеся Александровна Ученица 9класса СОШ 11 Города Искитима Новосибирской области,Россия Руководитель: Кудоспаева Надежда Николаевна.

Немного о себе. Привет всем! Меня зовут Алеся мне 16лет.Живу в Искитиме.Люблю делать проекты по математике и другим предметам. Люблю слушать музыку. мне 16лет.Живу в Искитиме.Люблю делать проекты по математике и другим предметам. Люблю слушать музыку.

Мотивация. Я очень люблю делать презентации. А когда услышала о всероссийском конкурсе, мне захотелось поучаствовать в нем, проявить себя, посоревноваться с другими. И ещё я хочу получить хорошую оценку за годовой зачет.

Цель проекта. Рассказать об окружности в Декартовой системе координат. Рассказать об окружности. Рассмотреть решение некоторых задач

Уравнение окружности Выведем уравнение окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат.

Пусть точка С имеет координаты расстояние от произвольной точки М (x;y) до точки С вычисляется по формуле МС= Если точка М лежит на данной окружности, то МС=r,т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

продолжение Если же точка М (x;y) не лежит на данной окружности, то МС=r, и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С(x 0 ;y 0 ) имеет вид:(x- x 0 ) +(y-y 0 )=r В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:x – y =r

Задача.1 Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат.

Задач.2 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А(-3;0) и В (0;9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

Задача.3 Окружность задана уравнением (x+5) +(y-1) =16.Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек: А)внутри круга, ограниченного данной окружностью; Б)на окружности; В)вне круга, ограниченного данной окружностью. 22

Интересно и важно Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, радиусом окружности (рис. 1). Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

продолжение На рисунке 2 отрезки АВ и ЕF хорды окружности, отрезок СD диаметр окружности. Очевидно, диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.

продолжение Центр окружности является серединой любого диаметра. Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 3 АLВ и АMВ дуги, ограниченные точками А и В.

продолжение Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем (рис. 4). Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться веревкой (рис. 5). Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом (рис. 6 ).

Задача с решением 1. Проанализировать взаимное расположение прямых a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Решение Ввиду замечания к доказательству теоремы 11.5 эти уравнения определяют прямые, если a b 1 2 > 0, a b 2 2 > 0. Пусть для определенности выразим y из первого уравнения и подставим во второе: и или

Пусть Тогда решение последнего уравнения единственно, и далее Таким образом, при условии, что a 2 b 1 – a 1 b 2 0, существует единственная точка A ( x 0 ; y 0 ), координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям, и, следовательно, эти прямые пересекаются в точке А. Пусть теперь Это значит, если т. е. то никакое число x не является решением уравнения (*), и, следовательно, исходные уравнения не имеют общих решений.

Это значит, что прямые не пересекаются, т. е. они параллельны. Таким образом, мы получили следующий признак параллельности двух прямых, заданных исходными уравнениями. Если коэффициенты при переменных пропорциональны, т. е. а отношение свободных коэффициентов не равно отношению соответствующих коэффициентов, то уравнения определяют параллельные прямые. Пусть теперь Тогда любая точка x – является решением уравнения (*) и в силу произвольности x связь между x и y определяется одним из исходных уравнений, потому что другое уравнение пропорционально первому. В этом случае каждое уравнение совокупности исходных уравнений задает одну и ту же прямую.

Задача с решением В окружность радиуса R вписан равносторонний треугольник. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин треугольника постоянна, и найти эту сумму. Решение Шаг 1 Установим координаты вершин треугольника ABC: B(0; R), Окружность имеет уравнение: x 2 + y 2 = R 2. Шаг 2 Пусть T – произвольная точка на окружности. Шаг 3 Согласно формуле расстояния между двумя точками TB 2 = x 2 + (y- Поэтому Учитывая, что точка T лежит на окружности, имеем: x 2 + y 2 = R 2. Значит, TA 2 + TB 2 + TC 2 = 3R 2 + 3R 2 = 6R 2. Ответ: 6R 2. 2 R)

Центр окружности находится в точке с координатами (а;в). Уравнение этой окружности имеет вид: (х – а) + ( у – в) =R 2 2 2

Исторический материал Древние египтяне считали площадь круга равной площади квадрата со стороной диаметра. Это довольно точное приближение с ошибкой 0,6 %. Наряду с этим приводилось значительно более грубое приближение для длины окружности, которую предлагалось считать равной утроенному диаметру (ошибка около 5 %).

продолжение Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами (на рис. 7 это сегменты I и II). Если хорда совпадает с диаметром, то эти сегменты превращаются в полукруги. Часть круга, ограниченная двумя его радиусами ОА и ОВ и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов, называется сектором (на рис. 8 это секторы I и II).

Справедливы следующие утверждения: 1. Равные хорды стягивают равные дуги. 2. Равные дуги стягиваются равными хордами. 3. Хорды, одинаково удаленные от центра, равны. 4. Равные хорды одинаково удалены от центра. 5. Всякий диаметр является осью симметрии окружности и делит ее на две равные полуокружности.

Взаимное расположение двух окружностей На рисунке 9, а изображены две окружности (О1,r1) и (O2, r2). Эти окружности не имеют общих точек, т. е. не пересекаются. Сравнив расстояние h между центрами О1 и О2 с радиусами окружностей, заметим, что h > r1 + r2.

продолжение Представьте теперь, что первая окружность передвигается так, что расстояние h между центрами О1 и О2 уменьшается. Когда расстояние между центрами станет равным сумме радиусов (h = r1 + r2), окружности будут иметь только одну общую точку. О таких окружностях говорят, что они касаются внешним образом, а их общую точку называют точкой касания (рис. 9, б).

Оси симметрии окружности На рисунке 10 изображены фигуры (отрезок, окружность, треугольник, квадрат), каждая из которых симметрична себе относительно некоторой оси. О таких фигурах говорят, что они имеют ось симметрии.

Теорема Теорема. Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр. Доказательство. Пусть прямая p проходит через центр окружности (О, r) (рис. 11). Осевая симметрия сохраняет расстояния (предложение 23). Но при любом отображении, cохраняющем расстояния, окружность отображается на окружность того же радиуса. А так как при симметрии Sp центр окружности (О,r) отображается на себя (О р), то и окружность (О, r) - отображается на себя, т. е. она симметрична относительно прямой р.

Декартова система координат прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта. прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта. Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта

продолжение Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Благодарю за внимание!