3. Парабола Пусть – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой ) одинаково. Точку F называют фокусом параболы, прямую – директрисой. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, директриса параболы была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F и до было одинаковым. В такой системе координат: F (0,5p;0) и : x + 0,5p =0, где p – расстояние от F до.

Уравнение (4): y 2 = 2px называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из уравнения параболы получаем:

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы, Число p называется параметром параболы. Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.

Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково. Тогда получим для параболы уравнение y 2 = –2px,(5) а для директрисы и фокуса: F(–0,5p;0) и : x – 0,5p = 0.

Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3): Тогда уравнение параболы будет иметь вид x 2 = 2py,(6) а для директрисы и фокуса получим: F(0; 0,5p) и : y 0,5p = 0. Уравнения (5) и (6) тоже называются каноническими уравнениями параболы, а соответствующие им системы координат – каноническими системами координат.

4. Координаты точки в разных системах координат Получаем: Формулу (8) называют формулой преобразования координат точки при переносе начала координат в точку C(x 0 ;y 0 ).

5. Общее уравнение кривой второго порядка Рассмотрим уравнение Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0(13) С помощью элементарных преобразований, уравнение (13) может быть приведено к виду: ВЫВОД: Уравнение (13) определяет кривую, каноническая система координат которой параллельна заданной, но имеет начало в точке C(x 0,y 0 ). Говорят: уравнение (13) определяет кривую со смещенным центром (вершиной), а уравнение (14) называют каноническим уравнением кривой со смещенным центром (вершиной).

Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно: 1) если AC = 0, то кривая является параболой; 2) если AC < 0, то кривая является гиперболой; 3) если AC > 0, A C– эллипсом; 4) если AC > 0, A = C – окружностью.

6. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы. r i = | MF i |, d i = d(M, i ) ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет место равенство ЗАМЕЧАНИЕ. По определению параболы r = d. параболу можно считать кривой, у которой эксцентриситет = 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) есть величина постоянная и равная, называется 1) эллипсом, если 1; 3) параболой, если = 1.

7. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы Получаем: α = β.С физической точки зрения это означает: 1) Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе. 2) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса. 3) Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси.