Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Частные производные высших порядков. Дифференцируемость ФНП

§13. Частные производные высших порядков Пусть z = f(x,y) имеет и, определенные на D xOy. Функции и называют также частными производными первого порядка функции f(x,y) (или первыми частными производными функции f(x,y)). и в общем случае функции переменных x и y. Частные производные по x и по y от и, если они существуют, называются частными производ- ными второго порядка (или вторыми частными производ- ными) функции f(x,y).

Обозначения.

Частные производные второго порядка в общем случае являют- ся функциями двух переменных. Их частные производные (если они существуют) называют частными производными третьего порядка (или третьими частными производными) функции z = f(x,y). Продолжая этот процесс, назовем частными производными порядка n функции z = f(x,y) частные производные от ее частных производных (n – 1)-го порядка. Обозначения аналогичны обозначениям для частных производ- ных 2-го порядка. Например: Частные производные порядка n > 1 называют частными производными высших порядков.

Частные производные высших порядков, взятые по разным аргументам, называются смешанными. Частные производные высших порядков, взятые по одному аргументу, называют иногда несмешанными. ПРИМЕР. Найти частные производные 2-го порядка от функции z = x 4 + 3x 2 y 5. ТЕОРЕМА 1 (условие независимости смешанной производной от последовательности дифференцирований). Пусть z = f(x,y) в некоторой области D xOy имеет все частные производные до n-го порядка включительно и эти производные непрерывны. Тогда смешанные производные порядка m (m n), отлича- ющиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают между собой.

§14. Дифференцируемость функций нескольких переменных 1. Дифференцируемые функции нескольких переменных Пусть z = f(x,y), D(z) = D xOy, D – область (т.е. открытое связное множество). Пусть M 0 (x 0,y 0 ) D. Придадим x 0 и y 0 приращение x и y соответственно (так, чтобы точка M(x 0 + x,y 0 + y) D). При этом z = f(x,y) получит приращение z(M 0 ) = f(M) – f(M 0 ) = f(x 0 + x,y 0 + y) – f(x 0,y 0 ). z(M 0 ) называется полным приращением функции z = f(x,y) в точке M 0 (x 0,y 0 ), соответствующим x и y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция z = f(x,y) называется дифференци- руемой в точке M 0 (x 0,y 0 ) если ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде z(M 0 ) = A x + B y + 1 x + 2 y,(1) где A, B – некоторые числа, 1, 2 – бесконечно малые при x 0, y 0 (или, что то же, при ). Замечание. Функции 1 и 2 зависят от x 0,y 0, x, y. Равенство (1) можно записать и в более сжатой форме: z(M 0 ) = A x + B y +,(2) где – бесконечно малая при 0. Функция z = f(x,y), дифференцируемая в каждой точке некото- рой области D, называется дифференцируемой в D.

Напомним: для дифференцируемой функции y = f(x) справед- ливы утверждения: 1) y = f(x) дифференцируема в x 0 f (x 0 ); 2) y = f(x) дифференцируема в x 0 y = f(x) непрерывна в x 0. ТЕОРЕМА 1 (необходимые условия дифференцируемости ФНП) Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M 0 (x 0,y 0 ). Тогда она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным. Причем ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Замечания. 1) С учетом теоремы 1 равенства (1) и (2) можно записать соответственно в виде: (3) (4) где 1, 2 – бесконечно малые при x 0, y 0, – бесконечно малая при 0. 2) Утверждение обратное теореме 1 неверно. Из непрерывности функции двух переменных в точке и существования в этой точке ее частных производных еще не следует дифферен- цируемость функции.

ПРИМЕР. Функция непрерывна в точке (0;0) и имеет в этой точке частные производные, но не явля- ется в этой точке дифференцируемой. ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия дифференцируемости ФНП) Пусть функция z = f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки M 0 (x 0,y 0 ) частные производные и, причем в самой точке M 0 эти производные непрерывны. Тогда функция z = f(x,y) дифференцируема в этой точке.

2. Дифференциал ФНП Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M 0 (x 0,y 0 ). Тогда где 1, 2 – бесконечно малые при x 0, y 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если z = f(x,y) дифференцируема в точке M 0 (x 0,y 0 ), то линейная относительно x и y часть ее пол- ного приращения в этой точке, т.е. называется полным дифференциалом функции z = f(x,y) в точке M 0 (x 0,y 0 ) и обозначается dz(M 0 ) или df(x 0,y 0 ).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ полного дифференциала функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть S – поверхность, P 0 – фиксированная точка на поверхности S, P – текущая точка на поверхности S. Проведем секущую прямую PP 0. Плоскость, проходящая через точку P 0, называется касатель- ной плоскостью к поверхности S в точке P 0, если угол между секущей PP 0 и этой плоскостью стремится к нулю когда точка P стремится к P 0, двигаясь по поверхности S произвольным образом.

Прямая, проходящая через точку P 0 перпендикулярно касатель- ной плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке P 0. ДОКАЗАНО, что 1) если функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M 0 (x 0,y 0 ), то поверхность z = f(x,y) имеет в точке P 0 (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) касательную плоскость. Ее уравнение: уравнение нормали к поверхности z = f(x,y) в P 0 (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )):

2) если поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) – дифференцируема в P 0 (x 0,y 0,z 0 ), причем хотя бы одна из ее частных производных не обращается в P 0 в ноль, то касательная плоскость к поверхности в точке P 0 (x 0,y 0,z 0 ) существует и ее уравнение уравнения нормали к поверхности F(x,y,z) = 0 в P 0 (x 0,y 0,z 0 ): Замечание. Точка P 0 (x 0,y 0,z 0 ) поверхности F(x,y,z) = 0, в которой все частные производные функции F(x,y,z) обращаются в ноль, называется особой точкой поверхности.

Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M 0 (x 0,y 0 ). поверхность z = f(x,y) имеет в точке P 0 (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) касательную плоскость. Ее уравнение: Обозначим x – x 0 = x, y – y 0 = y. Тогда уравнение касательной плоскости примет вид: ТАКИМ ОБРАЗОМ, полный дифференциал функции z = f(x,y) в точке M 0 (x 0,y 0 ) равен приращению, которое получает аппликата точки P 0 (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) касательной плоскости к поверхности z = f(x,y), когда ее координаты x 0 и y 0 получают приращения x и y соответственно.

Очевидно, что соответствие (x 0,y 0, x, y) df(x 0,y 0 ) является функцией (четырех переменных). Ее называют полным дифференциалом функции z = f(x,y) и обозначают dz или df(x,y). Легко доказать, что полный дифференциал функции n пере- менных обладает теми же свойствами, что и дифференциал функции одной переменной. В частности, для df(x,y) существует вторая, инвариантная форма записи: