Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Вычеты. Основная теорема о вычетах (вычет относительно конечной точки, вычет относительно ) Лектор Пахомова Е.Г г.

§ 9. Вычеты. Основная теорема о вычетах 1. Вычет относительно конечной точки ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вычетом функции f(z) относительно конечной точки z 0 называется число, равное где C – любой контур, удовлетворяющий условиям: а)z 0 лежит в области D, внутренней по отношению к C (т.е.в области, которая остается слева при обходе контура C против часовой стрелки); б)в области D и на ее границе C нет особых точек функции f(z), за исключением может быть точки z 0. Обозначают: Из определения если z 0 – правильная, то

ТЕОРЕМА 1 (связь вычета функции относительно z 0 с коэффициентами ее ряда Лорана в окрестности z 0 ). Вычет функции f(z) относительно z 0 равен коэффици- енту a –1 разложения функции f(z) в ряд Лорана по степе- ням z – z 0 в области 0 < | z – z 0 | < R (где R – такое число, что в области 0 < |z – z 0 | < R функция f(z) – аналитическая). СЛЕДСТВИЕ 2 (о вычете относительно устранимой особой точки z 0 ). Если z 0 – устранимая особая точка, то ТЕОРЕМА 3 (вычисление вычета относительно полюса z 0 ). Если z 0 – полюс кратности m функции f(z), то

СЛЕДСТВИЕ 4 (1-я формула для вычисление вычета относительно простого полюса z 0 ). Если z 0 – простой полюс функции f(z), то СЛЕДСТВИЕ 5 (2-я формула для вычисление вычета относительно простого полюса z 0 ). Пусть z 0 – простой полюс функции f(z) и, где (z 0 ) 0. Тогда

2. Вычет относительно Пусть – изолированная особая точка функции f(z). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вычетом функции f(z) относительно называется число, равное где C – любой контур, такой, что в области, внешней по отношению к C, нет конечных особых точек функции f(z). Обозначают: ТЕОРЕМА 6 (связь вычета функции относительно с коэффициентами ее ряда Лорана в окрестности ). Вычет функции f(z) относительно равен –1 a –1, где a –1 – коэффициент при z –1 в разложении функции f(z) в ряд Лорана в окрестности (т.е. в области | z | > R ).

ТЕОРЕМА 7 (вычисление вычета относительно устранимой особой точки ) Если – устранимая особая точка функции f(z), то ТЕОРЕМА 8 (вычисление вычета относительно полюса ) Если – полюс кратности m функции f(z), то Замечание. Вычисление вычета относительно можно свести к вычислению вычета относительно z 0 = 0 если сделать замену