Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Интеграл Фурье

§24. Интеграл Фурье Представление функции интегралом Фурье – разложение непе- риодической функции на гармонические компоненты, часто- ты которых пробегают непрерывную совокупность значений. 1. Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье. Пусть f(x) – непериодическая, определенная на. Пусть выполняются условия: 1)f(x) удовлетворяет условиям Дирихле или кусочно-гладкая на [– ; ], > 0. 2)f(x) абсолютно интегрируемая на всей числовой оси, т.е. сходится (в смысле главного значения) интеграл

Фиксируем > 0 и запишем на [– ; ] ряд Фурье для f(x): Рассмотрим Получим (1) Интеграл (1) называется двойным интегралом Фурье.

Интеграл (1) можно привести к виду (2) где (3) Интеграл (2) называется интегралом Фурье.

ТЕОРЕМА 1 (о представлении функции интегралом Фурье). Пусть f(x) определена на и удовлетворяет условиям: 1) f(x) абсолютно интегрируема на ; 2) f(x) удовлетворяет условиям Дирихле или кусочно-гладкая на любом отрезке [– ; ]. Тогда функция f(x) представима своим интегралом Фурье, т.е. ее интеграл Фурье J(x) сходится в каждой точке x и справедливо равенство а)J(x) = f(x), если x – точка непрерывности f(x); б) если x – точка разрыва f(x). ПРИМЕР. Представить в виде интеграла Фурье функцию

Более компактной формой записи интеграла Фурье является его комплексная форма: (4) где(5)

2. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций Пусть f(x) удовлетворяет условиям теоремы 1. а) Пусть f(x) – четная. Тогда ее интеграл Фурье: где б) Пусть f(x) – нечетная. Тогда ее интеграл Фурье: где

3. Представление интегралом Фурье функций, заданных на [0 ; + ) Пусть f(x) задана на [0 ; + ) и удовлетворяет условиям: 1)f(x) абсолютно интегрируема на [0 ; + ) ; 2) f(x) удовлетворяет условиям Дирихле или кусочно-гладкая на любом отрезке [0 ; ]. Доопределим f(x) на (– ; 0) (четным или нечетным образом). Получившаяся функция F(x) представима интегралом Фурье. Интеграл Фурье для F(x), рассматриваемый только на [0 ; + ), называют интегралом Фурье функции f(x) на [0 ; + ).