Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 1 Функция нескольких переменных Определение. Точкой x в n-мерном пространстве называется упорядоченное множество из n чисел x i, i=1,2,…,n, которые называются координатами точки x: x = (x 1, x 2,…,x n ). Пусть даны две точки x = (x 1, x 2,…, x n ) и y = (y 1, y 2,…, y n ). Величина называется эвклидовым расстоянием между точками x и y.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 2 Некоторые топологические понятия 1. -окрестностью точки M 0 R n называется множество точек, отстоящих от точки M 0 на расстоянии меньше, чем. 2. Точка M 0 G, G R n, называется внутренней точкой множества G, если она принадлежит множеству G вместе с некоторой своей окрестностью. 3. Точка M 0 G называется граничной точкой множества G, если в любой ее окрестности найдутся точки как принадлежащие, так и не принадлежащие множеству G. Совокупность всех граничных точек множества называется границей. 4. Точка М 0 называется внешней точкой множества G, если существует окрестность этой точки М 0, в которой нет точек множества G.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 3 5. Множество точек плоскости называется открытым, если все его точки внутренние. 6. Точка М 0 называется предельной точкой множества G, если существует последовательность точек M n G, такая, что расстояние. 7. Множество G называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои граничные точки. 8. Множество G называется связным, если любые две точки можно соединить ломаной, целиком лежащей в этом множестве. 9. Открытое связное множество называется областью в n-мерном пространстве. 10. Множество G называется ограниченным, если все его точки содержаться в некотором n-мерном шаре.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 4 Определение. Пусть множество D R n. Если каждой точке М(х 1, х 2,..., х n ) D поставлено в соответствие по некоторому правилу f число z R, то говорят, что на множестве D задана функция п переменных. Обозначают функцию одним из следующих способов: u = f(M), u = f(x 1, x 2, …, x n ), f : R n R.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 5

6 Повехности и линии уровня Определение. Если каждой точке М некоторой области G поставлено в соответствие число u, то говорят, что в области G задано скалярное поле u = u(M). Определение. Поверхность (линия), в точках которой поле принимает постоянное значение, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля. Очевидно, что семейство поверхностей уровня n=3 (линий уровня n=2) может быть задано уравнением u(M) = C (C – сonst).

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 7 Система линий уровня, снабженных пометками соответствующих значений С 1, С 2, С 3,… уровня (высоты) при С=0,1,2,… дает представление о ходе изменения функции. Расстояние между линиями уровня с соседними номерами позволяет судить о крутизне поверхности и = f(x,y). Где линии подходят близко друг к другу, функция круто поднимается (или падает), где велико – носит пологий характер.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 8

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 9 Предел ФНП Пусть функция z = f(M) определена на множестве D, M(x 1, x 2,…,x n ) R n, M 0 (x 1 0, x 2 0,…,x n 0 ). Определение. (По Коши) Число А называют пределом функции z = f(M) в точке М 0 (при M M 0 ), если такое, что M D, удовлетворяющей неравенству 0< (M,M 0 )

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 10 Непрерывность ФНП Пусть функция u = f(M) определена на множестве D и в его предельной точке М 0. Определение 1. Функция u = f(M) называется непрерывной в точке М 0, если 1) f(M) определена в точке М 0 и некоторой ее окрестности; 2) существует ; 3).

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 11 Непрерывность ФНП Определение. Предельные точки множества D, в которых нарушается определение непрерывности функции, называются точками разрыва функции. Определение. Частным приращением функции u = f(M) в точке М 0 по аргументу x k называется величина Определение. Функция u = f(M) называется непрерывной в точке М 0 по переменной x k, если.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 12 Непрерывность ФНП Теорема. Если функция u = f(x 1, x 2, …, x n ), определена в окрестности точки M 0 (x 1 0, x 2 0,…,x n 0 ) и непрерывна в ней по совокупности переменных, то она непрерывна в этой точке и по каждой переменной. Для непрерывных ФНП, имеют место теоремы, аналогичные основным теоремам о непрерывных функциях для случая одной переменной. Перечислим их. Теорема. (Об арифметических операциях над непрерывными функциями). Теорема. (О композиции непрерывных функций). Теорема. Всякая элементарная функция многих переменных непрерывна на множестве своего определения.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 13 Частные производные Определение. Величина называется частной производной от функции u=f(x 1,x 2,…,x n ) по i-ой переменной и обозначается символом или символом. Замечание. При вычислении частной производной по какой- то переменной меняется только эта переменная, и все остальные переменные выступают как константы.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 14 Непрерывность ФНП Пусть u = f(M), M(x 1, x 2,…,x n ), M 0 (x 1 0, x 2 0,…,x n 0 ) и (x 1 – x 1 0 ) = x 1, (x 2 – x 2 0 ) = x 2, … (x n – x n 0 ) = x n. Величина u = f(M) – f(M 0 ) или называется полным приращением функции f(x 1, x 2, …,x n ) в точке M 0. Определение 2. Функция u = f(M) называется непрерывной в точке М 0, если

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 15 Дифференцируемость ФНП Определение. Функция u = f(x 1, x 2, …, x n ) называется дифференцируемой в точке M 0 (x 1 0, x 2 0,…,x n 0 ), если её полное приращение в этой точке имеет вид, или где А i, i=1,2,…,n - числа, о( ) – бесконечно малая величина высшего порядка малости, чем.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 16 Дифференциал ФНП Определение. Линейная относительно приращений аргументов часть приращения функции называется дифференциалом функции u = f(M) и обоз- начается символом d f(M). С геометрической точки зрения дифференциал для z = f (x, y) представляет приращение аппликаты касательной плоскости.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 17 Теорема 1. Если функция u = f(x 1, x 2, …, x n ) дифференцируема в точке M 0, то она непрерывна в этой точке. Теорема 2. (Необходимое условие дифференцируемости) Если функция дифференцируема в точке M 0, то в этой точке у нее существуют все частные производные и,, i=1,…n. Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости) Если функция u = f(x 1, x 2, …, x n ) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки M 0, причём эти производные непрерывны в точке M 0, то функция u = f(x 1, x 2, …, x n ) дифференцируема в точке M 0. Следствие. Если функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные в точке M 0, то имеет полный дифференциал в этой точке и в некоторой окрестности точки M 0 выполняется равенство

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 18 Геометрический смысл частных производных Пусть z = f(x, y), (x, y) D. По определению частной производной имеем: т.е. есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке (x 0, y 0, z 0 ), где z 0 = f(x 0, y 0 ). Аналогично, есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке (x 0, y 0, z 0 ), где z 0 = f(x 0, y 0 ),. Физический смысл частной производной состоит в том, что она определяет скорость изменения функции в точке M 0 в направлении оси OX k.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 19 Определение. Касательной плоскостью Т к поверхности S в точке M 0 называется плоскость, содержащая касательные ко всевозможным кривым, принадлежащим поверхности S и проходящим через точку M 0. Определение. Нормальной прямой N к поверхности S в точке M 0 называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке M 0.

LOGO Спасибо за внимание