Векторная алгебра. Основные понятия.

Декартовые прямоугольные координаты на плоскости. Координатами точки на плоскости называются числа, определяющие положение этой точки на плоскости. Прямоугольные декартовые координаты вводятся следующим образом: на плоскости выбирается точка О и проходящие через нее две взаимно перпендикулярные прямые ОХ и ОУ (оси абсцисс и ординат ). Для удобства ОХ горизонтальна и направлена слева направо, ОУ вертикальна и направлена снизу вверх.

Две координаты на плоскости. Абсциссой х называется число, выражающее в некотором масштабе расстояние точки от оси координат, взятое со знаком +, если точка М лежит вправо от оси ординат, и со знаком -, если точка лежит влево от оси ординат.

Ординатой у называется число, выражающее в некотором масштабе (обычно, как и для х) расстояние точки от оси абсцисс, взятое со знаком +, если точка лежит выше оси абсцисс, и со знаком -, если точка лежит ниже оси абсцисс.

Обозначение: М(х ; у). Эти два числа х и у принимаются за координаты точки М, т.к. они полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре х и у соответствует единственная точка, координатами которой являются эти числа, и, обратно, каждая точка плоскости имеет определенные координаты х и у.

Преобразование прямоугольной системы координат. Существует три случая преобразования прямоугольной системы координат.

1 случай. Параллельный перенос.

2 случай. Поворот системы координат.

3 случай. Общий случай. Новое начало координат есть точка О(a;b) и ось ОХ образует с ОХ угол α. Соединяя 2 предыдущих случая, имеем: х=а+хcosα-ysinα у=b+хsinα+ycosα

Полярная система координат. Наиболее важной после декартовой прямоугольной системы координат является полярная система координат, которая вводится следующим образом:

На плоскости выбираем точку О, которую назовем полюсом, проведем из полюса О направленную полупрямую ОХ, называемую полярной осью.

Полярные координаты точки М. Полярный радиус ρ и полярный угол φ. Запись: М(ρ,φ), 0ρ

Элементы векторной алгебры.

Основные определения. Величина, характеризующая одним числом в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. Величина, кроме числового значения характеризуется еще направлением, называется векторной или вектором.

Вектор О, модуль которого равен 0, называется нулевым (направление произвольно). Два вектора и считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых и имеют одинаковую длину и одинаково направлены.

Линейные операции над векторами. О: Суммой нескольких векторов называется вектор, по величине и направлению равный замыкающей пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах О: Под разностью векторов такой, что

О: Произведением вектора на скаляр k имеющий длину направление которого совпадает с направлением вектора, если k>0, противоположно ему, если k

Свойства векторного сложения: 3.для каждого вектора существует противоположный вектор,имеющий туже длину, но противоположное направление

Свойства операции умножения на число: а) б) = в) г)

О: Если ненулевой вектор разделить на его длину, то мы получаем единичный вектор, так называемый орт того же направления.

Коллинеарные и компланарные векторы. О: Два вектора и называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле (т.е. расположены или на параллельных прямых, или на одной и той же прямой). О: Три вектора называются они параллельны некоторой плоскости в широкомсмысле. компланарными, если

Теоремы: Теорема 1. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. =k. Теорема 2. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда один из векторов выражается через два других., - скаляры

Проекция вектора на ось. О: Осью называется направленная прямая. О: Проекцией точки А на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки А на эту ось.

О: Под компонентой или составляющей вектора относительно оси понимается вектор, где проекции точек А и В.

О: Под проекцией вектора на ось понимается скаляр, равный длине его компоненты, взятой компоненты и со знаком «-», если направление компоненты и оси и оси совпадают противоположны. со знаком +, если направление

Теоремы: Теорема 1: Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси

Теорема 2: Проекция суммы нескольких векторов на данную ось = сумме их проекций на эту ось.

Теорема 3: При умножении вектора на скаляр его проекция на данную ось умножается на этот скаляр.

Векторная алгебра. Векторы в координатной форме.

Прямоугольные декартовые координаты в пространстве. О: Под декартовыми прямоугольными координатами (х, y, z) точки М понимаются проекции ее радиус-вектор на соответствующие оси координат. ; длина -

О: называется направление косинусами вектора.

Теорема:

Векторы в пространстве. Действия над векторами в координатной форме. О:,, - называется координатами вектора. Запись:.

- расстояние между двумя точками пространства на плоскости.

Скалярное произведение векторов. О: Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства: 1) ; 2) ;

3) - скалярный квадрат;

4) ; 5) из определения ; 6)

Векторное произведение векторов. О: Векторным произведение векторов, обозначаемый символом и удовлетворяющий условиям:

1) ; ; 2), 3) - образуют правую тройку (правило правого винта)

Свойства: 1) т.к. пр. и лев. тройки; 2) ;

3) ; 4) векторы коллинеарны

5) геом. смысл:, построенного на векторах и. 6) Для ортов справедлива следующая таблица умножения:

Векторное произведение в координатной форме.

Смешанное произведение трех векторов. О: Смешанным произведением векторов называется число, определяемое формулой

Свойства: 1) 2) 3) 4) при перестановке двух соседних … смешанное произведение меняет знак

Смешанное произведение в координатной форме.