Лекция 9. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Рассмотрим газодинамические функции, которые используются в уравнениях количества движения газа. Сумму секундного количества движения и силы давления газа в рассматриваемом поперечном сечении потока принято называть полным импульсом потока I. Если подставить соотношения и

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, то получим После раскрытия скобок и упрощений приводим выражение к виду

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, где График газодинамической функции для воздуха приведен ниже. Минимальное значение функции соответствует критической скорости течения ( ). Как в дозвуковых, так и в сверхзвуковых потоках. Значениям не соответствуют какие-либо реальные режимы течения. При замене величины обратной ей величиной значение функции не изменяется.Таким образом, одному значению

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, могут соответствовать два взаимообратных значения приведенной скорости – одно из них определяет дозвуковое, а другое – сверхзвуковое течение газа. Функция не зависит от k. Выражение для импульса потока значительно упрощает запись и преобразования уравнения количества движения газа. Оно оказывается чрезвычайно полезным при решении широкого круга задач газовой динамики.

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Например, при расчете течений с ударными волнами, подводом теплоты и охлаждением, течений с трением, с ударом при внезапном расширении канала, при расчете процесса смешения потоков, при определении сил, действующих на стенки канала, при вычислении реактивной тяги и многих других.

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Пример. Определить соотношения между параметрами газа до и после прямого скачка уплотнения. Связь между параметрами газа в скачке уплотнения устанавливается из того, что при переходе через скачок сохраняются неизменными полная энергия, расход и импульс потока. Запишем те же уравнения с использованием газодинамических функций. Уравнение количества движения или импульса потока

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, с учетом выражения примет вид Из уравнения сохранения расхода и полной энергии имеет,,,, Учитывая это, получим

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Это уравнение имеет два решения: либо, что соответствует безударному течению с неизменными параметрами газа, либо, что соответствует прямому скачку. По известному значению с помощью уравнения неразрывности определяем изменение полного и статического давления в скачке уплотнения. Так как и, то используя формулы газодинамической функции, можно уравнение неразрывности для потока газа до и после скачка представить в виде

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, или Отсюда, учитывая, что, получаем

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Пример. Газ, движущийся в цилиндрической трубе, подогревается от 400 К на входе в трубу до 800 К на выходе из нее. Приведенная скорость потока на входе в трубу. Требуется определить, пренебрегая трением, приведенную скорость потока после подогрева, а также изменение полного и статического давления в потоке. Основное соотношение, определяющее закономерности течения газа в цилиндрической трубе с подводом теплоты, получим из уравнения количества движения

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, так как подвод теплоты не связан с силовым воздействием на поток и силы давления в начальном и конечном сечении являются единственными силами, вызывающими изменение количества движения газа. Заменив выражения для импульса потока газа и считая, что теплоемкость газа и k при подогреве не изменяются, получим или или

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Так как при,, то Так как при,, то С помощью таблиц функций или непосредственным вычислением из квадратного уравнения определяем два возможных значения приведенной скорости на выходе:,. Реальным будет только первое решение, поскольку подогревом невозможно перевести дозвуковой поток в сверхзвуковой.

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Зная, найдем и

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Таким образом, как полное, так и статическое давление в результате подогрева газа уменьшаются. Полученное значение и есть то соотношение давлений газа в начальном и конечном сечениях рассматриваемого участка трубы, которое необходимо создать, чтобы поддержать заданные температуры и приведенную скорость на входе Уравнение сохранения количества движения позволяет установить некоторые общие закономерности течения в цилиндрической трубе с подогревом или охлаждением. Видно, что с увеличением отношения величина функций (при ) всегда уменьшается.

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Это означает, что с ростом подогрева в дозвуковом потоке увеличивается, а в сверхзвуковом – уменьшается. В обоих ъ случаях скорость потока будет приближаться к критической (следовательно, а ). Это условие ограничивает величину предельно возможного подогрева для заданной начальной скорости потока. Это условие ограничивает величину предельно возможного подогрева для заданной начальной скорости потока.

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Для принятых в данном примере значений параметров предельная величина подогрева соответствует. Из уравнений расхода можно определить отношение давлений, необходимое для реализации такого режима при сохранении. При увеличении подогрева сверх найденного значения получим, что указывает на физическую невозможность такого подогрева при заданной скорости течения на входе.

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Заменив в соотношении произведение его значением, получим выражение для импульса газового потока в первом случае через полное давление, а втором случае через статическое давление:

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Введем обозначения для двух новых функций приведенной скорости, входящих в правые части этих выражений:

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Подставляя эти обозначения, получаем окончательно Функция введена, как величина, обратная произведению с тем, чтобы облегчить пользование таблицами с тем, чтобы облегчить пользование таблицами (произведение быстро возрастает с увеличением, стремясь к бесконечности при. Величина же изменяется в пределах от единицы до нуля). Графики Функций и приведены ранее.

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Уравнения показывают ряд свойств импульса газового потока. В правой части этих уравнений отсутствуют величины расхода газа и температуры или критической скорости. Из этого следует, что если при заданной площади сечения S и приведенной скорости полное или статическое давление в потоке постоянно, то импульс сохраняет постоянное значение независимо от температуры и расхода газа.

Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций,, Физический смысл этого состоит в том, что при изменении температуры (или температуры торможения) газа при скорость течения изменяется прямо пропорционально, а расход – обратно пропорционально корню квадратному из температуры, так что произведение GV остается постоянным. Отметим, что функция в области дозвуковых и небольших сверхзвуковых скоростей изменяется очень мало (приблизительно на 10% в интервале ). Отсюда следует, что импульс газового потока при постоянных полном давлении и площади сечения слабо зависит от величины в широком диапазоне ее изменения и определяется в основном величиной произведения. Выражения для импульса газа очень удобны при решении задач, связанных с определением сил, действующих со стороны газа на стенки канала, что необходимо, в частности, при вычислении реактивной тяги различных двигательных установок.