Алгебра логики. Логическое умножение, сложение и отрицание. Диденко В.В.

Алгебра высказываний Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание. В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.

Рассмотрим два простых высказывания: А = «Два умножить на два равно четырем». В = «Два умножить на два равно пяти». В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = 0). В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Для образования новых высказываний используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не». Логические связки Конъюнкция («и») Дизъюнкция («или») Инверсия («не»)

Логическое умножение (конъюнкция). Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией. Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания. Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Пример (1) «2 - 2 = 5 и 3 3 = 10», (2) «2 2 = 5 и 3 3 = 9», (3) «2 -2 = 4 и 3 3 = 10», (4) «2 2 = 4 и = 9». Из этих высказываний истинно только (4)

Р = А & В. С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные А и В, которые могут принимать значения «истина» (1) и «ложь» (0). Сама функция логического умножения Р также может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0).

Таблица истинности функции логического умножения Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции АВF=А&В

Логическое сложение (дизъюнкция) Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией. Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний. Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

Пример (1) «2 2 = 5 или 3 3 = 10», (2) «2 2 = 5 или 3 3 = 9», (3) «2 2 = 4 или 3 3 = 10», (4) «2 2 = 4 или 3-3 = 9». F = A B

Таблица истинности функции логического сложения. АВF=А В

Логическое отрицание (инверсия) Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное истинным.

Пример Пусть А = «Два умножить на два равно четырем» истинное высказывание, тогда высказывание Р = «Два умножить на два не равно четырем», образованное с помощью операции логического отрицания, ложно. F = A

Таблица истинности функции логического отрицания А F = A