НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Уравнения с одним неизвестным
Нелинейные уравнения: алгебраические (содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные) трансцендентные (содержащие другие функции (тригонометрические, показа- показательные, логарифмические и др.)).
1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции). Пусть мы нашли отрезок, на котором функция меняет знак, т.е. на котором находится значение корня, т. е. В качестве начального приближения корня принимаем середину этого отрезка:
Далее исследуем значения функции на концах отрезков и Тот из отрезков, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка.
В качестве первого приближения корня принимаем
Таким образом, k-е приближение вычисляется как
после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k итераций он сокращается в 2k раз:
Пусть приближенное решение требуется найти с точностью до некоторого заданного малого числа : Взяв в качестве приближенного решения k-е приближение корня:, учитывая, что получим
Последнее неравенство выполнено, если
метод деления отрезка пополам всегда сходится, причем можно гарантировать, что полученное решение будет иметь любую наперед заданную точность.
2. Метод хорд. Процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения точек пересечения хорды с осью абсцисс. ( Для определенности примем )
Сначала находим уравнение хорды ab :
Для точки пересечения ее с осью абсцисс получим уравнение
Далее, сравнивая знаки величин и для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале так как. Отрезок отбрасываем. и т.д.
В качестве условия окончания итераций используется условие близости двух последовательных приближений
3. Метод Ньютона (метод касательных). метод состоит в том, что на k-й итерации проводится касательная к кривой у = F(x) и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс.
При этом не обязательно задавать отрезок, содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке имеет вид
Отсюда найдем следующее приближение корня как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у = 0):
Аналогично формула для k-го приближения имеет вид необходимо, чтобы не равнялась нулю.
для погрешности корня имеет место соотношение
4. Метод простой итерации. Для использования этого метода исход- исходное нелинейное уравнение записывается в виде
Пусть известно начальное приближение корня Подставляя это значение в правую часть уравнения получаем новое приближение
Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение получаем последовательность значений
Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. если выполнено неравенство