Исследование математических моделей Приближенное решение уравнений. - презентация

1

2 Исследование математических моделей Приближенное решение уравнений

3 f(x) Пусть задана функция f(x). Требуется найти корни уравнения f (x)=0 f (x)=0 (1) Задача нахождения корней уравнения (1) обычно решается в два этапа. На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, то есть выделяются области, содержащие только один корень. На втором этапе, используя начальное приближение, строится итерационный процесс для уточнений корня.

4 Определение корней Определение корней можно осуществить графическим или аналитическим способом. y=f(x). Для того, чтобы отделить корни графически, нужно построить график функции y=f(x). X 0 a b f(a) f(b) X*X* y = f(x)

5 Для определения корней аналитически используем следующее утверждение: если функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a, b], т.е. f(a) f(b)

6 aξ b 0 X Y y=f(x) f(a) f(b) 0 Y X ba ξξ1ξ1 f(a) f(b) y=f(x) ξ2ξ2

7 Метод половинного деления Предположим что в интервале [a, b] расположен один корень уравнения (1). Найдем точку c= (b+a) /2. Это x 0. Далее, если f( c)* f( a) >0, то b = c, если f( c)* f( b) >0, то a = c. Аналогично находим следующие приближения x n (n=1,2,…) Если выполняется одно из условий : | f(x n+1 ) | или | x n -x n+1 |, где - заданная точность вычислений, f(x)=0 =x * = x n+1 то корень уравнения f(x)=0 найден =x * = x n+1 и процесс вычисления заканчивается.

8 0 X Y ab y=f(x) x0x0 x1x1 x2x2