Выполнил : Тихонов Игорь Александрович ученик 8 класса Б МБОУ лицея Г. Комсомольска на Амуре

Инвариант – числа, алгебраические выражения, величины и т. п., связанные с каким - либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях. В качестве инварианта могут выступать четность числа, остатки от деления на число, раскраска …

Кузнечик прыгает на 1 см, затем прыгает на 3 см в том же или противоположном направлении, затем в том же или противоположном направлении на 5 см и т. д. Может ли он после 57- го прыжка оказаться в исходной точке ?

Что бы вернуться в изначальную точку кузнечик должен был пропрыгать какое - то расстояние вправо ( х ) и такое же расстояние влево ( х ), следовательно он должен был пропрыгать расстояние равное 2 х, а это число четное. Он прыгнул нечетное количество раз, каждый раз на нечетное количество сантиметров, следовательно он пропрыгал нечетное количество сантиметров. Получено противоречие

Пусть Х - число, к которому мы приведём все числа, тогда 6 Х – это сумма всех чисел, а это число четное. Сумма всех чисел равняется 21, а это число нечетное Получено противоречие

Всего 25 листов – нечетное число, сумма чисел на листе – нечетное число, следовательно, сумма всех чисел – нечетное число – четное число. Получено противоречие.

Рассмотрим одного человека. Выходя на дежурство, он каждый раз будет дежурить с двумя новыми людьми. Значит, всего он продежурит с четным числом людей, следовательно, он не сможет продежурить со всеми оставшимися 99 людьми.

Сначала, разобьем депутатов на две палаты произвольным образом. Если какой - то депутат обнаружит в своей палате более одного врага, то мы переведём его в другую палату. И мы будет производить это действие, пока не выполнится условие задачи

Например : Дана шахматная доска размером 5*5. Можно ли замостить доску доминошками 2*1? Каждая доминошка занимает одну черную и одну белую клетку, следовательно, количество белых и черных клеток должно быть равным. А на доске 5*5 всего 25 клеток, значит количество черных и белых клеток неравное. Получено противоречие.

Т. к. конь ходит буквой « Г »( размером 1*2), то через каждый ход цвет клетки на которой он будет находиться будет меняться, следовательно только через четное количество ходов он вернется на клетку того же цвета.

Каждая доминошка занимает одну черную и одну белую клетку, следовательно, количество белых и черных клеток должно быть равным. Но когда мы вырезали две противоположные угловые клетки, мы сделали количество белых и черных клеток неравным, следовательно, мы не сможем разрезать данную фигуру.

Н. В. Горбачев « Сборник олимпиадных задач » В. В. Прасолов « Задачи по алгебре, арифметике и анализу »