{ поле комплексных чисел - алгебраическая запись - плоскость комплексного переменного - тригонометрическая форма записи комплексного числа - формула Муавра - извлечение корней – пример }

Натуральные числа, целые, рациональные, действительные числа - здесь каждое последующее множество обладает увеличением хороших алгебраических свойств по сравнению с предыдущим. Натуральные числа можно только складывать и умножать, целые – еще и вычитать, рациональные делить, из неотрицательных вещественных можно извлекать корни. Можно ли построить поле, где корни можно извлекать из любых чисел ? Такое множество C называется множеством комплексных чисел. Пусть C = R x R.Зададим на C операции сложения и умножения : для всех

( C, +,. ) - поле комплексных чисел. Числа вида ( a, 0 ), где a - вещественное число, складываются и перемножаются, также как и вещественные числа: ( a, 0 ) + ( b, 0 ) = ( a + b, 0 ), ( a, 0 ) ( b, 0 ) = ( a b, 0 ). Такие комплексные числа можно записывать как a. Обозначим число ( 0, 1 ) через i, получим представление комплексного числа в алгебраической форме

Число i называют мнимой единицей. …изумительный полет Духа Божьего ! – Готфрид Вильгельм фон Лейбниц a - вещественная часть числа z : Re z b - мнимая часть числа z : Im z

Im Re 0 a b Комплексно – сопряженное число Комплексное число

Im Re 0 a b

@ Сложить и, затем перемножить эти числа. Im Re 0 1 i Решение 2

Применим правило умножения для нахождения квадрата комплексного числа: Найдем частное от деления двух комплексных чисел: Формула Муавра

Множество корней степени n из комплексных чисел: Пусть Заметим циклически повторяются через каждые n шагов !

В частности: - абелева группа

@ Найти все значения. Решение Im Re 0 2-2

Уравнением второй степени называют уравнение: Приведенная форма:

@ Решить уравнение Решение

@ Вывести формулу: Решение