Определение функции n переменных. Геометрическая интерпретация в случае задания функции двух переменных. Задание функций. Классификация множеств пространства.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.
Advertisements

Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.
Непрерывность функций Лекция 3. Непрерывность Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке, если 1)она определена в этой.
{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Определение ФНП. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные.
Company Logo Функция нескольких переменных Определение. Точкой x в n-мерном пространстве называется упорядоченное множество из n чисел.
Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 1 Функция нескольких переменных Определение. Точкой x в n-мерном пространстве.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Частное и полное приращение.
Математический анализ Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования.
Математический анализ Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования.
Предел функции Второй замечательный предел Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции Основные теоремы о непрерывных.
Точки разрыва функции. Их классификация. Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности.
КАКАЯ ФУНКЦИЯ НАЗЫВАЕТСЯ НЕПРЕРЫВНОЙ В ТОЧКЕ? Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х 0, если она определена в этой точке и её окрестности и.
Рассмотрим случаи: а) в) г) б) а b y=f(x) f(a) не сущ-ет =b=b а y=f(x) f(a) сущ-ет предел не сущ-ет y=f(x) а f(a) не сущ-ет предел не сущ-ет y=f(x) f(a)
Company Logo Предел функции по Коши Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть.
Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие функции Основные понятия Пусть.
Предел и непрерывность функции.. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется.
Def. Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел. Члены последовательности располагаются в порядке.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Интегрирование функций комплексного переменного.
Транксрипт:

Определение функции n переменных. Геометрическая интерпретация в случае задания функции двух переменных. Задание функций. Классификация множеств пространства R (n) Предел функции. Непрерывность функции. Теоремы о непрерывных функциях.

Функция одного переменного – отображение множества X на множество Y :. Функция или отображение – это кортеж множеств F = (f,X,Y), обладающих следующими свойствами : (декартово произведение X x Y ) Кортеж – последовательность конечного числа элементов, в частном случае – упорядоченная пара. Прямое или декартово произведение множеств - множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. X - область определения функции f, - область значений функции f.

Определение функции обобщается на случай функции многих переменных. Пусть даны множества X 1, X 2, …., X n и множество Y, тогда упорядоченное множество всех кортежей называется функцией n переменных тогда и только тогда, когда для любых и из следует, что. Функцией n переменных называется отображение множества E пространства R (n) на множество действительных чисел. E – область определения функции. y x

y z x Функция двух переменных Z = f(x,y) определяется на множестве E пространства R (2) Графиком функция двух переменных z = f(x,y) называется совокупность всех точек (x,y,z), получающихся для всех точек (x,y) множества E. O z(x,y) E (x,y)

Параметрический способ задания функции y z x Неявный способ задания функции y z x Явный способ задания функции

Построение линий уровня o x y o z y z x y

Точка P o называется точкой прикосновения множества, если всякая окрестность точки P o содержит хотя бы одну точку множества E. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки соприкосновения. Точка P o называется внутренней точкой множества, если существует окрестность точки P o, все точки которой принадлежат множеству E. o x y все точки множества E – точки прикосновения, внутренних точек нет. все точки E – внутренние. Внутренних точек нет, все точки E – граничные.

Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки принадлежат множеству E. Областью называется связное и открытое множество. Односвязная область Если множество точек, дополнительных к области, связно, то область называется односвязной. Если дополнительное множество несвязно, то область называется многосвязной. Многосвязная область Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью. Точка называется граничной для множества E, если в любой ее окрестности есть точки принадлежащие как множеству E, и не принадлежащие ему. Односторонние поверхности

Предел суммы, произведения, частного двух или нескольких функций равен сумме, произведению, частному пределов этих функций. В последнем случае предел знаменателя не должен быть равным нулю. Число A называется пределом функции f(P) в точке P o по множеству E, если для любого > 0 существует > 0, такое, что из неравенства следует неравенство. Если точка и предел функции f(P) в точке P o по множеству E существует, то функция f(P) называется непрерывной в точке P o по множеству E. Функция f(P) непрерывная в каждой точке множества E, непрерывна на множестве E.

@ Найти предел функции f(P), когда P стремится к нулю. Выберем путь - луч Ищем теперь частичный предел по пути вдоль кривой Предела функции во всей области существования нет. Решение !

@ Найти предел функции f(P), когда P стремится к началу координат Предел функции равен нулю. Решение

Теорема Кантора Функция, непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве E, равномерно непрерывна на нем. Теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве то она принимает на этом множестве как самое большое, так и самое малое значение. Теорема Больцано – Коши Функция, непрерывная на связном множестве, принимает вместе с двумя значениями и все промежуточные. В сложной функции число основных и промежуточных аргументов может быть различно. Непрерывность сложной функции определяется непрерывностью промежуточных аргументов.