{ тройной интеграл – вычисление - пример – замена переменной в тройном интеграле – якобиан преобразования – вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат – примеры }

Определение и вычисление тройного интеграла z x y 0 z = f 2 (x,y) z = f 1 (x,y) b a g 2 x g 1 x Интегральная сумма Римана Тройной интеграл Вычисление D S

Тройной интеграл Масса фигуры ограниченного объема с заданной функцией плотности Объем ограниченной трехмерной фигуры Свойства

Пример Решение D Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями: (-2,0,0) (2,0,0) (2,0,4) (-2,0,4) x y z

Замена переменных в тройном интеграле Замена переменных в тройном интеграле определяется отражением T области R в плоскости uvw в область D плоскости xyz. y x (x,y,z) D v u (u,v,w) R 0 0 w z Якобиан преобразования:

Тройной интеграл в цилиндрической системе координат Якобиан преобразования: Преобразование T : отражение области D : z на C : x,y,z. y x M(, z) M(x,y,z) 0 z

Пример z x y 0 Найти пределы интегрирования в тройном интеграле для фигуры, ограниченной поверхностями: плоскостью, цилиндрической поверхностью и параболоидом. Решение В декартовой системе координат уравнение цилиндра: В цилиндрической системе координат: В декартовой системе координат уравнение параболоида: В цилиндрической системе D

Пример Найти объем фигуры ограниченной полусферой и конусом z y 0 D x y 0 S

Тройной интеграл в сферической системе координат Якобиан преобразования: Преобразование T : отражение области D : на C : x,y,z. y x M( ) M(x,y,z) r 0 z x y z M( )

Тройной интеграл в сферической системе координат Якобиан преобразования: Преобразование T : отражение области D : на C : x,y,z. y x M( ) M(x,y,z) r 0 z

Пример Найти объем фигуры ограниченной полусферой и конусом z x 0 D / a