По материалам «Новые варианты» ЕГЭ 2013 года под редакцией А.Л. Семёнов и И.В. Ященко Составитель: учитель МКОУ СОШ 10 с. Ачикулак Гамзатова Сайгат Мусаидовна

С2 на ЕГЭ Урок 1 Применение векторно - координатного метода при решении задач на вычисление угла между плоскостями позволяет свести решение к задаче о нахождении угла между векторами нормалей данных плоскостей. Вектор нормали плоскости это любой вектор перпендикулярный к данной плоскости. Если уравнение плоскости аx + by + cz + d = 0, то вектор нормали имеет координаты Пусть даны плоскости и. Векторы и векторы их нормали. Тогда косинус угла между данными плоскостями равен

Вариант 1 С2 «новые варианты» под ред.А.Л. Семёнова, И.В. Ященко В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2. а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1=1 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1 Введём систему координат как показано на рис. Вектор вектор нормали к плоскости АВС. Пусть вектор нормали к (ВЕD1). Найдём координаты, написав уравнение плоскости через координаты точек В(2,2,0), Е(2,0,1) D1(0,0,3). Полученная система имеет бесконечное множество решений, так как векторов перпендикулярных к плоскости много. Для удобства возьмём d =-6, тогда Ответ:

Вариант 11 В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями BA1C1 BA1D1 Пусть ребро куба равна 1ед. Найдём векторы нормали к данным плоскостям 1. Уравнение (ВА1С1) напишем через координаты В(1;1;0), А1(1;0;1), С1(0;1;1) Вектор нормали данной плоскости 2. Уравнение (ВА1D1) напишем через координаты В(1;1;0), А1(1;0;1), D1(0;0;1) Вектор нормали данной плоскости Ответ:

Вариант 15 В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями A1BD и плоскостью проходящей через середины рёбер AB, BB1, B1C1, C1D1, D1D, DA Пусть ребро куба равна 1ед. Найдём векторы нормали к данным плоскостям 1. Уравнение (A1BD) напишем через координаты B (1;1;0), А1(1;0;1), D(0;0;0 ) Вектор нормали данной плоскости 2. Уравнение (ЕКМ), где Е – середина АВ К – середина ВВ1, М – середина D1C1 ( данная плоскость будет искомой т.к. через любые три точки проходит только одна плоскость. Е(1;0,5;0) К(1;1;0,5), М(0;0,5;1) Ответ:

х у z Вариант 18 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Найти угол между (SAD) и плоскостью, проходящей через точку в перпендикулярно прямой AS A A B CD S O Решение Пусть β – плоскость, проходящая через точку В перпендикулярно прямой AS. Тогда вектор нормали к плоскости β Введём прямоугольную систему координат. Как указано на рис. Начало отсчёта в точке пересечения диагоналей квадрата. А(0,5; -0,5;0), S (0;0; ). (-0,5;0,5; ) Уравнение плоскости (SAD):А(0,5; -0,5;0), S (0;0; )D(-0,5;-0,5;0) Косинус равен 0, если угол равен Ответ

Вариант 19 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Найти угол между (SAD) и плоскостью, BCF,где F – середина AS х у A B C O D z S Введём прямоугольную систему координат, как указано на рис. Начало отсчёта в точке пересечения диагоналей квадрата. Плоскость проходит через точки А(0,5; -0,5;0), S (0;0; ) D (-0,5;0,5; 0 ) Уравнение плоскости (SAD) Составлено на слайде 5 Вектор нормали Уравнение плоскостиBCF: B(0,5;0,;50),C(-0,5;0,5;0),F( ) Ответ: Координаты F находим по формулам нахождения координат середины отрезка

Вариант 20 х A B C O z S у D В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Найти угол между плоскостями (ABG) и ( DCF),где F – середина SB, G – середина SC Уравнение плоскости ( DCF) напишем через координаты точек C(-0,5;0,5;0), D(-0,5;-0,5;0) F( ) Вектор нормали данной плоскости Уравнение плоскости (ABG) : A(0,5;-0,5;0), B(0,5;0,5;0), G( ) Ответ:

Литература: «Новые варианты 30 вариантов» ЕГЭ 2013 года под редакцией А.Л. Семёнов и И.В. Ященко