Стереометрическая задача на ЕГЭ(задача С 2) Автор: учащийся 11 класса МБОУ «Матвеевская СОШ» Половинкин Никита Руководитель: учитель математики Половинкина. - презентация

1 Стереометрическая задача на ЕГЭ(задача С2) Автор: учащийся 11 класса МБОУ «Матвеевская СОШ» Половинкин Никита Руководитель: учитель математики Половинкина Г.Ю.

2

3 1. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0 В этом уравнении плоскости коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

4 Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости имеет вид Числа a, b, c находим из системы уравнений

5 Например: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки - уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

6 Угол между плоскостями Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла. Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

7 Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла. Пусть плоскости и заданы уравнениями: Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле: В ответе мы записываем, так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

8 Расстояние от точки М(x 0 ;y 0 ;z 0 )до плоскости ax + by + cz + d = 0. Например:

9 Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой. b c A B

10 Единичный куб. х у z D (0; 0; 0) A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) B (1; 1; 0) D 1 (0; 0; 1) A 1 (1; 0; 1) C 1 (0; 1; 1) B 1 (1; 1; 1)

11 Прямоугольный параллелепипед. х у z D (0; 0; 0) A (a; 0; 0) C (0; b; 0) B (a; b; 0) D 1 (0; 0; c) A 1 (a; 0; c) C 1 (0; b; c) B 1 (a; b; c) a b c

12 Правильная шестиугольная призма. х у C F D E B A a a C (a; 0;0) F (- a; 0;0) х у z C 1 (a; 0;c) F 1 (- a; 0;c) a c

13 Правильная треугольная призма. С1С1 А В С А1А1 В1В1 c a х у z O

14 Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

15 Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

16 Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

17 Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

18 Правильная шестиугольная пирамида. х y z a h C (a; 0;0) F (- a; 0;0)

19 Задача В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка М так, что AM=8. На ребре взята точка K так, что. Найдите угол между плоскостью и плоскостью.

20 Решение. Запишем координаты точек: М(0;0;13),К(12;0;8), Подставим их в систему уравнений: Отсюда: С= -1/13, В= -1/12, А= -5/(12 х 13). Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

21 Подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол:

22 Задача. В единичном кубе АВСDA 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между плоскостями АD 1 Е и D 1 FC, где точки Е и F-середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Решение. Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D 1 (1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1). 1)Решая систему составляем уравнение плоскости (АD 1 E): x+2y-z=0. 2) плоскость CFD 1 : отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.,, откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

23 Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА 1 =2:3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. Решение. Введем прямоугольную систему координат. Тогда В(1;0;0), Е(0;0;2), D 1 (0;1;5). Решаем систему Составляем уравнение плоскости ( ВЕD 1 ): -х+1,5 у-0,5z+1=0, вектор нормали плоскости ( ВЕD 1 ) Вектор нормали плоскости ( ABC) Найдем искомый угол как угол между нормалями плоскостей Ответ:

24 Задача. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 1. Точка М-середина ребра АВ, точка К – середина ребра DD 1. Найти угол между плоскостями АКВ 1 и КМС. РЕШЕНИЕ. Введем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в точку А. Составим уравнение плоскости АКВ 1. Точка А (0;0;0) принадлежит этой плоскости, то d=0. Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и В 1 (1;0;1) в уравнение плоскости, получим b+c/2=0, a+c=0. Таким образом имеем 2 х+у - 2z=0. Составим уравнение плоскости КМС. Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и М (0,5;0;0), С(1;1;0) в уравнение плоскости, получим систему: Уравнение плоскости (КМС) принимает вид и угол между плоскостями АВК 1 и КМС находим из 2 х – у +4z=1. Итак,

25

26