Задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми Решение геометрическим методом и с помощью метода координат. - презентация

1 Задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми Решение геометрическим методом и с помощью метода координат

2 В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ 1

3 Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

4 Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, нужно: 1. Через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой. 2. Из любой точки первой прямой опустить перпендикуляр на плоскость и найти его длину. То есть задача сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости. Это можно сделать геометрическим методом или с помощью метода координат.

5 Решение геометрическим методом Прямая А 1 В 1 параллельна прямой АВ. Проведем через прямые А 1 В 1 и В 1 С плоскость А 1 В 1 С, параллельную прямой АВ:

6 Возьмем точку М, являющуюся серединой отрезка АВ. Проведем через эту точку плоскость МСС 1. Докажем, что плоскость МСС 1 перпендикулярна прямой АВ, и, следовательно, плоскости А 1 В 1 С: Отрезок МС является медианой, и, следовательно, высотой равностороннего треугольника АВС. Прямая КМ параллельна прямой СС 1 и, следовательно, перпендикулярна АВ. То есть прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости МСС 1, и, следовательно перпендикулярна плоскости.

7 Теперь рассмотрим в плоскости МСС 1 прямоугольный треугольник МКС и проведем в нем высоту МР: Длина высоты МР треугольника и есть расстояние между прямыми АВ и СВ 1, которой нам нужно найти.

8 Чтобы найти высоту МР, выразим два раза площадь треугольника МКС

9 Аналитический способ решения задачи: Как мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми АВ и В 1 С есть расстояние от точки М, которая является серединой отрезка АВ до плоскости А 1 В 1 С: Расстояние ρ от точки М 0 (х 0, у 0, z 0 ) до плоскости ax + by + cz + d = 0 вычисляется по такой формуле:

10 Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки М и точек А 1, В 1 и С, задающих плоскость А 1 В 1 С вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом: Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае призмы это не столь очевидно.

11 Запишем координаты нужных нам точек: М(0; 0; 0)

12 Чтобы найти коэффициенты a, b, c и d в уравнении ax+by+cz+d=0 плоскости A 1 B 1 C, примем коэффициент d =1, и подставим координаты точек A 1, B 1 и C в уравнение плоскости. Получим систему уравнений:

13 Подставим значения коэффициентов и координаты точки M(0;0;0) в формулу для расстояния. Получим: