§3. Параллелограмм. Средняя линия треугольника.

Задача 3 из диагностической работы

Для решения задач этого раздела нужно знать свойства и признаки параллелограмма, теорему о средней линии треугольника, теорему о медианах треугольника (медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника), Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Теорема. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Биссектрисы углов при одной стороне параллелограмма перпендикулярны Биссектриса параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник

ПРИМЕР 1. В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно а и Ь и пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали четырёхугольника. Роспись за запись решения на доске Идея решения. По диагоналям параллелограмма найти его стороны – это половины диагоналей данного четырехугольника

ПРИМЕР 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон АВ и CD, равна 1. Прямые ВС и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей АС и BD. Ответ: Оригинальный способ решения : найти параллелограмм!!! 1 Р

ПРИМЕР 3. Вершины одного параллелограмма лежат по одной на сторонах другого. Докажите, что центры параллелограммов совпадают. Оригинальный способ решения : найти параллелограмм!!!

7 подготовительных задач 3.1. Расстояние между серединами взаимно перпендикулярных хорд АС и ВС некоторой окружности равно 10. Найдите диаметр окружности Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30° и 45°. Найдите отношение сторон параллелограмма Вершины М и N квадрата KLMN лежат на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC (N между В и М), а вершины К и L на катетах ВС и АС соответственно. Известно, что AM = а и BN = Ь. Найдите площадь квадрата. Балл за решение каждой задачи 1.Вписанный угол, равный 90 2.Средняя линия треугольника 1.Теорема синусов 1.Подобные треугольники

7 подготовительных задач 3.4. Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В пересекают прямую CD в точках М и N, причём MN = 12. Найдите стороны параллелограмма Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если острый угол ромба равен 30°, а сторона равна 4. Балл за решение каждой задачи Биссектриса параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник 1.Решение прямоугольного треугольника 2.Формула синуса двойного угла 3.Формула высоты прямоугольного треугольника

7 подготовительных задач 3.6. В четырёхугольнике ABCD известны углы: DAB=90°, DBC= =90°. Кроме того, DB = a, DC = b. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D, А, В, а другая через точки B,C,D На сторонах АВ и CD прямоугольника ABCD взяты точки К и М так, что АКСМ ромб. Диагональ АС образует со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника ABCD равна 3. Балл за решение каждой задачи 1.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы 2.Теорема Пифагора 1.Свойство диагоналей ромба 2.Решение прямоугольного треугольника ( с углом в 30