ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Введение. Tеория вероятностей занимается изучением математических моделей случайных явлений (процессов) и их общих закономерностей. Явления (процессы) делятся на 2 вида: детерминированные и случайные: детерминированный – результат процесса однозначно определен начальными условиями; (тело, брошенное на землю без начальной скорости с высоты h, упадет на землю спустя время t = (2h/g), где g – ускорение свободного падения) случайный - результат процесса невозможно однозначно определить начальными условиями.

Теория вероятностей изучает общие закономерности случайных процессов (явлений).

Возникновение теории вероятностей как науки относят к векам и первым попыткам математического анализа азартных игр. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании игральных костей. Они также впервые стали использовать понятия событие и вероятность. Блез Паскаль ( )Пьер Ферма ( )

§1. События. Пространство событий. Исходными понятиями теории вероятностей являются событие и эксперимент. Эксперимент – выполнение определенного комплекта условий, в результате которого могут происходить некоторые события (Например, бросание монеты/игральной кости).

Определение 1.1 Результат (исход) случайного эксперимента называют элементарным событием. Элементарные события обозначают: 1, 2,…, n. Определение 1.2 Множество всех возможных исходов данного случайного эксперимента называют пространством элементарных событий. Пространство элементарных событий обозначают:. = { 1, 2,…, n }. Пример: пространство элементарных событий при бросании игральной кости : = { 1, 2,…, 6 }, где 1 = «выпало 1 очко» 2 = «выпало 2 очка»... 6 = «выпало 6 очков»

Определение 1.3 Каждое подмножество A пространства элементарных событий, A, называют случайным событием. Случайные события обозначают : A, B, C …. Пример: случайные события при бросании игральной кости : A = выпало четное число очков = { 2, 4, 6 } B =выпало нечетное число очков = { 1, 3, 5 } C =не выпало 6 очков = { 1, 2, 3, 4, 5 } D = выпало 6 очков = { 6 } E = выпало не больше 3-х очков = { 1, 2, 3 }

Определение 1.4 Говорят, что событие A произошло в результате данного эксперимента, если исход эксперимента принадлежит множеству A, A. Пример: бросание игральной кости. Исход: 2 = «выпало 2 очка» произошли события: A = выпало четное число очков = { 2, 4, 6 } C = не выпало 6 очков = { 1, 2, 3, 4, 5 } E = выпало не больше 3-х очков = { 1, 2, 3 }

Виды событий, действия над событиями В результате случайного эксперимента некоторые события происходят всегда, некоторые события никогда не происходят. Есть события, которые иногда происходят, иногда нет. Определение 1.5 Событие, которое в результате данного эксперимента никогда не может произойти, называют невозможным событием и обозначают. Событие, которое обязательно произойдет в результате данного эксперимента, называют достоверным событием и обозначают. Пример: бросание игральной кости. = выпало 7 очков = 7 - невозможное событие; = выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков = { 1, 2,…, 6 } – достоверное событие.

Определение 1.6 Если событие A является подмножеством события B, A B, то из происхождения события A следует происхождение события B. События A и B равны, A = B если A B и B A. Пример: бросание игральной кости. A = выпало четное число очков = { 2, 4, 6 } D = выпало 6 очков = { 6 } D A D A

Пример: бросание игральной кости. B = выпало нечетное число очков = { 1, 3, 5 } D = выпало 6 очков = { 6 } B + D =выпало нечетное число очков или 6 = { 1, 3, 5, 6 }

Пример: бросание игральной кости. B = выпало нечетное число очков = { 1, 3, 5 } D = выпало 6 очков = { 6 } E = выпало не больше 3-х очков = { 1, 2, 3 } B + D + E =не выпало 4 очка = { 1, 2, 3, 5, 6 }

Пример: бросание игральной кости. A = выпало четное число очков = { 2, 4, 6 } C = не выпало 6 очков = { 1, 2, 3, 4, 5 } AC =выпало 2 или 4 очка = { 2, 4 }

Пример: бросание игральной кости. A = выпало четное число очков = { 2, 4, 6 } C = не выпало 6 очков = { 1, 2, 3, 4, 5 } E = выпало не больше 3-х очков = { 1, 2, 3 } ACE =выпало 2 очка = { 2 }

Определение 1.9 Разностью событий A и B называют событие A \ B, которое означает происхождение события A, но при этом непроисхождение события B, Пример: бросание игральной кости. A = выпало четное число очков = { 2, 4, 6 } C = не выпало 6 очков = { 1, 2, 3, 4, 5 } A\C = выпало 6 очков ={ 6 } C\A= выпало нечетное число очков= { 1, 3, 5 }

Законы де Моргана

Пример. Возьмем колоду карт (52 карты, по 13 каждой масти) из которой случайным образом выбираем 1 карту (эксперимент). Определим события A = выбрана карта червовой масти и B = выбрана карта с картинкой (король, дама, валет). Тогда число элементарных событий (вариантов выбора) в каждом событии: |A| =|B| = Тогда различных вариантов выбора (исходов эксперимента) |Ω| = 52 |A B| = |A \ B| = | A | = (червовые с картинкой входят дважды) 3 (червовые с картинкой ) 10 (червовые без картинки) = 39 (нечервовые)

Определение 1.11 Если A B = (невозможное событие), то события A и B называют несовместимыми событиями. В противном случае собития являются совместимыми. События называют равновозможными, если их происхождение в результате эксперимента равноожидаемо В противном случае собития являются неравновозможными. Пример: бросание игральной кости. События А и В несовместимые события. A = выпало четное число очков = { 2, 4, 6 } B = выпало нечетное число очков = { 1, 3, 5 }

Определение 1.12 События A 1, A 2, …, A n образуют систему несовместимых событий, если они являются попарно несовместимыми A i A j =, i, j = 1,…,n, i j. И если кроме того, то A 1, A 2, …, A n образуют полную систему несовместимых событий. Пример: бросание игральной кости. События А и В образуют полную систему несовместимых событий. A = выпало четное число очков = { 2, 4, 6 } B = выпало нечетное число очков = { 1, 3, 5 }