3. Формула Лапласа. 1)Минор элемента а ik Def: Если в данном определителе вычеркнуть элементы i-й строки и k-го столбца то останется определитель, имеющий порядок на единицу меньше, чем данный. Этот D называется минором элемента а ik и обозначается М ik. # a 23 =4 M 23= M 31 =5 M 14 =11

Алгебраическое дополнение A ik Def: Алгебраическим дополнением элемента a ik данного D называется М ik, взятый со знаком «+», если (i+k)- четное число, и со знаком «-», если (i+k)- нечетное число. Для предыдущего примера: А 23 =-М 23 =-13 А 31 =М 31 =5 А 14 =-М 14 =-11 Формула Лапласа. Th: Определитель равен сумме произведений элементов всякой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

# #

Ниже будет показано, что полученный здесь определитель третьего порядка легко упростился и м.б. сразу приведен к определителю второго порядка. Свойства определителей. 1 Транспонирование определителя, т.е. замена строк столбцами и наоборот, не меняет его значения. 2 Перестановка любых двух строк (столбцов), меняет только знак D. D=-D

3 Общий множитель всех элементов одной строки (столбца) м.б. вынесен за знак D. Доказательство: Миноры элементов первых столбцов соответственно равны.

4 Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны или пропорциональны, то определитель равен 0. 5 Если элементы какой-либо строки (столбца) состоят из двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, различающихся между собой только элементами одной строки (столбца), бывшими ранее отдельными слагаемыми. 6 Если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки или одинаковые пропорциональные им числа,то исходный определитель не изменится. #