Лекция 13. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Литература Джини К. Средние величины. - М., Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. - М., С , Измайлова М.О., Рахманкулов И.Ш. Категория "средняя величина" и ее методологическое значение в научном исследовании. - Казань, Мазур Л.Н. Методы исторического исследования. Екатеринбург, Пасхавер И.С. Средние величины в статистике. - М., 1979 Славко Т.И. Математико-статистические методы в исторических исследованиях. - М., С Общая теория статистики. - М., С.54-78, , Федорова Н.А. Математические методы в исторических исследованиях. Казань, С

План Понятие «средняя величина» Общие правила использования метода средних величин Виды средних величин в исторических исследованиях Познавательные возможности вычисления средних величин в исторических исследованиях.

Понятие «средняя величина» На каждый исторический факт, на каждое событие действует множество различных причин и сил, способствующих и препятствующих его появлению. Пытаясь классифицировать изучаемое явление, мы сталкиваемся с необходимостью выявления общих характеристик, относящихся как к любому элементу рассматриваемой совокупности, так и ко всей совокупности в целом. Такими общими характеристиками, раскрывающими определенные свойства и направление развития процесса, выступают средние величины.

Понятие «средняя величина» Категория средней величины имеет одну из самых древних историй. Процесс становления абстрактных понятий связан с отбором общих черт некоего предмета или явления. При этом стираются, отбрасываются свойства, присущие исключительно отдельным объектам изучаемого явления. Так, обратившись к истории языка, можно заметить долговременное применение лексических единиц, выражающих понятие "снег" через его характеристики, через его проявления - "падающий с неба", "холодный","мягкий", " мокрый", "чистый", "тающий" и т.д. В данном случае "снег" является обобщением, абстрактным понятием, вбирающем в себя все типичные признаки конкретного природного явления.

История вычисления средних величин Так, обратившись к истории языка, можно заметить долговременное применение лексических единиц, выражающих понятие "снег" через его характеристики, через его проявления - "падающий с неба", "холодный","мягкий", " мокрый", "чистый", "тающий" и т.д. В данном случае "снег" является обобщением, абстрактным понятием, вбирающем в себя все типичные признаки конкретного природного явления.

История вычисления средних величин Практическое применение средние нашли в деле налогообложения в странах древнего мира. Оно основывалось на процедуре усреднения доходов разных социальных категорий граждан. Осмысление средних величин в трудах античных философов отражено в понятии гармонии, в процессе поисков общих закономерностей. В произведениях Аристотеля, Гераклита, Архимеда, Пифагора и других содержится понимание средней величины как равнодействующей всех определенных условий, которые участвуют в образовании рассматриваемой совокупности индивидуальных величин.

История вычисления средних величин В произведениях Аристотеля, Гераклита, Архимеда, Пифагора и других содержится понимание средней величины как равнодействующей всех определенных условий, которые участвуют в образовании рассматриваемой совокупности индивидуальных величин.

История вычисления средних величин В истории науки один из первых, кто попытался придать средней величине статистический смысл был английский ученый Уильям Петти ( гг.). Он раньше других ввел средние статистические показатели в разработку экономической теории.

История вычисления средних величин Спустя более 100 лет началось последовательное развитие теории самих средних. Ее родоначальником принято считать бельгийского математика Адольфа Кетле ( гг.).

История вычисления средних величин А.Кетле, опираясь на философию французского позитивиста О.Конта, разрабатывал теорию всеобщих закономерностей, которые выступают в форме устойчивых во времени статистических результатов. Они лишены индивидуальности, это массовые закономерности. В его трудах теория средних величин опирается на математическую основу. Вплоть до настоящего времени категория "средняя величина" является важнейшим логическим узлом научного аппарата, и дискуссии по ее концептуальной ценности продолжаются.

Значение средних величин в их обобщающей функции, т.е. в замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Средняя отражает совокупный результат развития и является равнодействующей различных причин и сил, воздействующих на эти явления.

Значение средних величин В исторической науке средние величины присутствуют давно, но не в полной мере. Для обработки массовых данных в статистике разработаны средние гармоническая, геометрическая, квадратическая, а также описательные средние - мода и медиана. Историки же традиционно обращаются, главным образом, к средней арифметической

Правила применения средних величин 1. До вычисления средних необходимо обеспечить качественную однородность совокупности. Так, например, нельзя изучать среднюю землеобеспеченность по общим данным о наделах крестьян, мещан, дворян, купечества. Нарушение указанного принципа не позволит нам получить типическую характеристику признака в изучаемой совокупности.

Правила применения средних величин 2. Средние вычисляются по массовым данным, т.е. по данным достаточно большого числа единиц наблюдения. Если обратиться к тому же примеру о средней землеобеспеченности, то согласно второму правилу нельзя изучать среднюю землеобеспеченность дворян по данным о размерах двух-трех имений. Мы обеспечили качественную однородность наблюдаемой совокупности, выделив группу дворян. Но для получения исторически реальной картины необходимо расширить число фактов. Это помогает снизить влияние недостоверной или нетипичной информации.

Правила применения средних величин 3. Средние рекомендуется вычислять по сведениям массовых источников, где действует закон больших чисел. Чем значительнее количество наблюдаемых фактов, тем бывает легче отделить случайное от необходимого. В жизни чаще всего то общее и существенное, что свойственно всем явлениям одного вида скрыто их индивидуальными особенностями. Следовательно, невозможно вскрыть общее, рассматривая отдельные, малочисленные случаи. Чем больше единиц наблюдения, тем значительнее отвлекается средняя величина от специфических черт индивидуальных явлений.

Правила применения средних величин 4. Нельзя ограничиваться вычислением средней в целом по совокупности не меньшее значение имеют средние характеристики и для каждого отдельного типа. Используя тот же пример, можно предложить рассчитать средние величины землевладения дворян для разных губерний, для дворянства разных сословных групп (потомственного, личного, служилого), для дворянства разного экономического положения (беспоместного, малопоместного и др.) и так далее, в зависимости от цели и задач конкретного исследования.

Правила применения средних величин На практике статистика использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления. Это особенно важно помнить при работе с уже сгруппированными данными и средними величина- ми, исчисленными до вас. В этом случае нужна проверка типичности средней величины по базовому группировочному признаку.

Правила применения средних величин Средняя не сводится только к количественному выражению "индивидуальных уклонений". Одна из главных задач исследования - выявление тенденций, закономерностей. Метод средних, игнорируя каждый отдельный случай, устанавливает их общее распределение в конкретных условиях места и времени. Средняя является специфической формой выражения содержания общего закона, который выступает в виде тенденции.

Средняя арифметическая - является самым распространенный вид средних величин. Если в исследовании автор не указывает вид примененного среднего показателя, подразумевается средняя арифметическая.

Средняя арифметическая Она исчисляется путем отношения суммы всех значений признака к общему числу наблюдений. Х1 Х2, Х3... Хп, - варианты признака; n - число единиц наблюдения. X = X1+X2+X Xn n

Средняя арифметическая Пример. Даны сведения о заработной плате шести работников (в условных единицах) - 90, 120, 108, 206, 160, 184. Определить средний размер заработной платы данной совокупности работников.

Средняя арифметическая Смысл (в данном примере) сводится к показу, какой была бы заработная плата каждого работника, если бы они получали ее поровну. Согласно вычислению их средняя заработная плата равняется 144,67 условных единиц. Если значения изучаемого признака в совокупности не повторяются (см. Пример), то любое значение этого признака оказывает на величину X одинаковое влияние, т.е. имеет одинаковый "вес".

Резюме о простой средней арифметической Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина - среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. ( Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия - это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну.

средневзвешенная величина Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще всего представлена группировкой, где значения усредняемого признака встречаются по нескольку раз и частота их различна. Это значит, что любая варианта этого признака оказывает неодинаковое влияние на среднюю величину, которая должна представлять собой результат равномерного распределения значений признака.

средневзвешенная величина Для уравновешивания указанных влияний используют средневзвешенную величину, равную сумме произведений каждого значения признака на его частоту, деленной на сумму всех частот X=Σx xp X- варианты признака P – частота вариант

средневзвешенная величина. Пример Пример : Распределение футбольных матчей высшей лиги России по числу забитых мячей за игру в 1992 г.

средневзвешенная величина. число заб ит ых мя че й число ма тче й

средневзвешенная величина. Пример. Определить среднее число забитых голов за одну игру. x=0*21+1*41+2*42+3*37+4*19+5*10+6*6+3*7= 2,

Возраст рабочих на предприятии. Определить средний возраст представленной группы рабочих возрастдо старше 50 число рабочих

Мода. Пример. Возраст рабочих на предприятии. Определить средний возраст представленной группы рабочих Мо =20+10* =26, 15 2 * Получается, что наиболее типичный возраст рассматриваемой группы рабочих - 26,15 лет. Этот возраст наиболее часто встречается в данной группе рабочих.

средневзвешенная величина Согласно вычислению в среднем за одну игру футбольных матчей высшей лиги в 1992 году забивалось 2.34 мяча. Обращает где на себя внимание тот факт, что величина средней арифметической может принимать дробные значения даже для дискретных признаков. Об этом важно помнить при интерпретации результатов вычислений.

Неявная форма средней величины В практике исторического исследования встречаются ситуации, когда индивидуальные значения осредняемого признака неизвестны. В распоряжении исследователя имеются некие суммарные значения объемных признаков. Средняя величина определяется отношением между имеющимися итоговыми данными.

Неявная форма средней величины Пример : Известно, что с площади 145 десятин собран урожай в 2595,5 т какой-то продукции. Отношение 2595,5/145 показывает среднюю урожайность данной культуры с одной десятины. В данном примере она равна 17,9 тонн. Этот вид средней называется в статистике неявной формой средней.

Другие случаи средних величин Встречаются случаи, когда в распоряжении исследователя имеются относительные показатели признака (доли, проценты, удельный вес и пр.). Общее определение средней арифметической сохраняет силу и в этом случае, но надо иметь в виду, что сумма таких показателей не является реальной величиной какого-либо признака

Основное свойство средней арифметической состоит в представлении всех значений признака в распределении. Следовательно, ее величина подвержена влиянию как очень больших, так и очень малых вариант. В результате она перестает быть типичной. Особенно это чувствуется при асимметричном распределении. Так, в примере при среднем возрасте рабочих 34 года 67,7% рабочих имеют возраст меньше или равный среднему значению и 32,3% были старше. Здесь видна явная асимметрия, обусловленная характером вариации признака. Для общественных явлений это естественно, строгая симметрия практически невозможна, а значит для их изучения мало знать среднюю арифметическую.

Мода (Мо) представляет наиболее часто встречающееся значение признака в упорядоченной совокупности, наиболее типичное среднее значение. В дискретном ряду Мо определяется без вычислений как значение признака с наибольшей частотой. Так, в примере мода равна 2, т.к. этому значению признак соответствует наибольшая частота (42). Таким образом, чаще всего в 1992 г. за одну игру футбольных матчей высшей лиги России забивалось 2 мяча.

Мода (Мо) Если в вариационном ряду (в группировке) равная максимальная частота встречается у двух или нескольких значений признака, то он считается соответственно бимодальным или мультимодальным. Это говорит о неоднородности совокупности и, следовательно, надо проверить правильно ли составлена группировка.

Мода (Мо) Для вычисления моды в интервальном ряду сначала определяется модальный класс, т.е. интервал с наибольшей частотой.

Мода Затем Мо вычисляется по формуле: Где Хо - нижняя граница модального интервала; К - величина интервала; P1 - частота интервала, предшествующего модальному; Р2 - частота модального интервала; Р3 - частота интервала, последующего за модальным.

Мода. Пример. Возраст рабочих на предприятии. Определить средний возраст представленной группы рабочих возрастдо старше 50 число рабочи х

Мода. Пример. Возраст рабочих на предприятии. Определить средний возраст представленной группы рабочих Мы можем предположить, что минимальный возраст рабочих - 17 лет (возраст получения общего среднего образования), максимальный - 65 лет (по экспертной оценке - наиболее типичный возраст прекращения трудовой деятельности). Тогда первый интервал становится " ", а последний - " ", соответственно середины интервалов - 18,5 и 57,5 (лет).

Мода. Пример. Возраст рабочих на предприятии. Определить средний возраст представленной группы рабочих Расчет проводится по формуле взвешенной средней арифметической, т.к. частоты вариант признака различны. X=18,5*48+25 *120+35*75+4 * *54 = 33,

Графическое определение моды применяется во всех случаях, когда в задачу исследования не входит обязательное получение точного значения наиболее распространенной величины признака. Например, для проверки рабочей гипотезы, когда точная величина принципиальной роли не играет, или для повышения наглядности материала. По нескольким графикам можно провести приблизительное сравнение мод различных признаков, чего невозможно сделать по таблицам.

Медиана (Me) Медиана - величина, определяющая значение признака, находящегося в середине упорядоченной совокупности. Медиана делит изучаемую совокупность так, что число единиц с большим и меньшим, чем медиана значением признака, одинаково.

Медиана (Me) Чтобы определить Me в дискретном ряду, надо построить ряд накопленных частот, затем поделить сумму всех частот пополам, а затем по накопленным частотам определить величину варианты, соответствующей той группе, в которой накопленная частота впервые превышает половину общей численности совокупности.

Медиана (Me) В примере о голах на футбольном матче ряд накопленных частот будет выглядеть так: 21; 62; 104; 141; 160; 170; 176; 179. Полусумма всех частот равна 179/2 = 89,5. Эта величина входит в третью из накопленных частот, т.е. в данном примере третья из накопленных частот своей величиной впервые превысила значение полу- суммы всех частот. Следовательно, медиана равна 2, т.е. варианте признака, соответствующей третьей группе. Получив Me, можно констатировать, что в половине футбольных матчей высшей лиги России в 1992 году забивалось в среднем по 2 мяча.

Медиана (Me) Определим Me по данным примера 4.3. Ряд накопленных частот принимает следующий вид: 48; 168; 243; 305; 359. Полу- сумма частот равна 359/2 = 179,5. Полученные данные говорят о том, что медианным является третий интервал, т.е. интервал "30 -40". Подставляем имеющиеся показатели в формулу:

Медиана (Me) Величина Me свидетельствует, что половина рабочих рассматриваемой группы имеет средний возраст 31,53 года.

Соотношение различных средних величин Обобщая три средних величины, рассчитанные по одним и тем же данным, видим существующую разницу. Средний возраст условной группы рабочих (7) - 33,6 лет, наиболее распространенный, часто встречающийся средний возраст (Мо) - 26,2 лет, При этом половина рассматриваемой группы имеет средний возраст где (Me) - 31,5 лет. Какой величине следует отдать предпочтение? Какой показатель считать наиболее достоверным и точным?

Соотношение различных средних величин При решении этих вопросов надо помнить, что: 1. Мода (Мо) имеет значение в том случае, когда ее величина расходится и с медианой (Me), и со средней арифметической (X), им не следует пренебрегать. Это же можно сказать и о медиане. Так что для исследования полезно вычислять все три показателя.

Соотношение различных средних величин 2. Различие в значениях величин обусловлено асимметричным распределением. Средняя арифметическая подвержена влиянию каждой варианты, поэтому она смещается в направлении наибольших значений признака. На моду крайние (максимальные и минимальные) варианты влияния не оказывают. Медиана зависит только от числа вариант, а не от их величины.

Соотношение различных средних величин Медиана по своей математико- статистической природе является самой представительной средней. При больших колебаниях в значениях признаков или когда не определены крайние интервалы в группировках, лучше пользоваться медианой. При вычислении моды для интервальной группировки желательно, чтобы интервалы были равновеликими.

Соотношение различных средних величин 4. Мода чаще других величин применяется по отношению к качественным признакам. Если скопление частот возле моды составляет 10-15% их общего числа, особое значение приобретает медиана, представляя более достоверное значение среднего показателя.